Cấp số nhân là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Cấp số nhân là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết cấp số nhân.

Cấp số nhân là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Nhận biết cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân (u_n) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

u_n = u_{n – 1}.q với n ≥ 2.

Nhận xét: Dãy số (u_n) là cấp số nhân thì $u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}\left(n\ge 2\right)$.

2. Ví dụ minh họa về nhận biết cấp số nhân

Ví dụ 1. Tìm cấp số nhân trong các dãy số sau. Nếu là cấp số nhân, chỉ ra công bội của nó.

a) 2; –2; 2; –2; 2.

b) 1; 2; 3; 4; 5; 6.

c) 2; 2; 2; 2; 2.

d) 1; 2; 4; 8; 16.

Hướng dẫn giải

a) Dãy số 2; –2; 2; –2; 2 là cấp số nhân với công bội q = –1.

b) Vì $\frac{2}{1}\ne \frac{3}{2}$ nên dãy số 1; 2; 3; 4; 5; 6 không phải là cấp số nhân.

c) Dãy số 2; 2; 2; 2; 2 là cấp số nhân với công bội q = 1.

d) Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q = 2.

Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2, u₂ = 6.

a) Tìm công bội q.

b) Viết sáu số hạng đầu của cấp số nhân này.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: q = 6 : 2 = 3. Do đó, công bội của cấp số nhân là q = 3.

b) Sáu số hạng đầu của cấp số cộng là:

u₁ = 2; u₂ = 6; u₃ = u₂.q = 18; u₄ = u₃.q = 54; u₅ = u₄.q= 162; u₆ = u₅.q = 486.

Vậy 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

u₁ = 2; u₂ = 6; u₃ = 18; u₄ = 54; u₅ = 162, u₆ = 486.

Ví dụ 3. Cho dãy số (u_n) với u_n = 2.3^{n – 1}. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của nó.

Hướng dẫn giải

Với mọi n ≥ 2 ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{{2.3}^{n-1}}{{2.3}^{n-1-1}}=3$, tức là: u_n = 3u_{n – 1} với n ≥ 2.

Vậy (u_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2.3^{1 – 1} = 2 và công bội q = 3.

3. Bài tập về nhận biết cấp số nhân

Bài 1. Tìm cấp số nhân trong các dãy số sau:

a) 1; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{81}$.

b) 1; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5.

c) 100; 200; 300; 400; 500.

d) 2; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵.

Bài 2. Trong các hệ thức truy hồi sau đây, hệ thức nào là một cấp số nhân? Nếu là cấp số nhân, chỉ ra số hạng đầu và công bội của nó.

a) u_n = –2u_{n – 1} với n ≥ 2.

b) u_n = u_{n – 1} – 2 với n ≥ 2.

c) u_n = n.u_{n – 1} với n ≥ 2.

d) u_n = $\frac{1}{6}$u_{n – 1} với n ≥ 2.

Bài 3. Chứng minh rằng các dãy số (u_n) sau là một cấp số nhân. Chỉ ra số hạng đầu và công bội của cấp số cộng đó.

a) u_n $={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$.

b) u_n $=\frac{2}{5^n}$.

c) u_n $=\frac{-1}{6^{n-1}}$.

Bài 4. Cho ba số tự nhiên a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh ba số 3^a, 3^b, 3^c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Bài 5. Thành phố A có dân số vào năm 2020 là 4 triệu người. Trong 5 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng tỏ rằng dân số từ năm 2020 đến năm 2030 của thành phố A tạo thành một cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Cấp số cộng là gì

• Mẫu số liệu ghép nhóm là gì

• Ghép nhóm mẫu số liệu là gì

• Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

• Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

---