Cách tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cực hay

Bài viết Cách tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ.

Cách tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cực hay

A. Phương pháp giải

+ Tập hợp các điểm M sao cho MA = k - không đổi là hình cầu tâm A bán kính R = k.

+ Tập hơp các điểm M sao cho MA→ + MB→ = 0→ là trung điểm của đoạn thẳng AB.

+ Nếu MA→ = k.BC→ trong đó A ; B ; C là các điểm đã biết thì điểm M cần tìm nằm trên đường thẳng qua A song song (hoặc trùng BC) và MA = |k|.BC

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tâm. Đặt AB→ = a→, BC→ = b→. Gọi M là điểm xác định bởi OM→ = (1/2).(a→ - b→). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M là tâm hình bình hành ABB’A’

B. M là tâm hình bình hành BCC’B’

C. M là trung điểm BB’

D. M là trung điểm CC’

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta phân tích:

→ OM // DB và OM = 1/2 DB

→ M là trung điểm của BB’

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→. (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G₀ là giao điểm của GA và mp (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Hướng dẫn giải

Chọn C

Theo đề: G₀ là giao điểm của GA và mp (BCD)

⇒ G₀ là trọng tâm tam giác BCD.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ. Xác định vị trí của M để |MA→ + MB→ + MC→ + MD→| nhỏ nhất

A. Trung điểm AB

B. Trùng với G

C. Trung điểm AC

D. Trung điểm CD

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi đẳng thức vectơ AM→ = AB→ + AC→ + AD→. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M trùng G

B. M thuộc tia AG và AM = 3AG

C. G là trung điểm AM

D. M là trung điểm AG

Hướng dẫn giải

Do G là trọng tâm tam giác BCD nên AB→ + AC→ + AD→ = 3AG→

Kết hợp giả thiết, suy ra AM→ = 3AG→

⇒ M thuộc tia AG và AM = 3AG

Chọn B

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi AN→ = AB→ + AC→ - AD→. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. N là trung điểm BD.

B. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCDN.

C. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.

D. N trùng với A.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: AN→ = AB→ + AC→ - AD→ ⇔ AN→ - AB→ = AC→ - AD→ ⇔ BN→ = DC→

Đẳng thức chứng tỏ N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→. Khẳng định nào sau đây sai?

A. G là trung điểm của đoạn IJ (I; J lần lượt là trung điểm AB và CD).

B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC.

D. Chưa thể xác định được.

Lời giải:

Chọn D

Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.

Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ ⇔ 2GI→ + 2GJ→ = 0→ ⇔ GI→ + GJ→ = 0→

⇒ G là trung điểm đoạn IJ.

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

Câu 2: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tâm. Đặt AB→ = a→, BC→ = b→. Gọi M là điểm xác định bởi OM→ = (1/2).(a→ - b→). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M là tâm hình bình hành ABB’A’

B. M là tâm hình bình hành BCC’B’

C. M là trung điểm BB’

D. M là trung điểm CC’

Lời giải:

Chọn C

Ta phân tích:

→ OM // DB và OM = 1/2 DB

→ M là trung điểm của BB’

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn: GS→ + GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Chọn B

Khi đó G , S và O thẳng hàng.

Câu 4: Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M là trọng tâm tam giác ABC.

B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

C. M là trực tâm tam giác BAC

D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G cố định và GA→ + GB→ + GC→ = 0→

Dấu bằng xảy ra

Vậy P_min = GA² + GB² + GC² với M ≡ G là trọng tâm tam giác ABC

Chọn đáp án A

Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ MA→ + MB→ + MC→ + MD→ + MA'→ + MB'→ + MC'→ + MD'→ = 0→. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M là tâm của mặt đáy ABCD

B. M là tâm của mặt đáy A’B’C’D’.

C. M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.

D. Tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD và O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO’

Chọn C

---