Tổng hợp các phép toán về vectơ trong không gian (hay, chi tiết)

Bài viết Tổng hợp các phép toán về vectơ trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tổng hợp các phép toán về vectơ trong không gian.

Tổng hợp các phép toán về vectơ trong không gian (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Các phép toán về vecto cần nhớ:

+) AB→ + BC→ = AC→

+) OM→ - ON→ = NM→

+) Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AB→ + AD→ = AC→

+) Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D', ta có: AB→ + AD→ + AA'→ = AC'→

+) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

IA→ + IB→ = 0→ và OA→ + OB→ = 2OI→

+) Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

GA→ + GB→ + GC→ = 0→;    OA→ + OB→ + OC→ = 3OG→

+) Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→;    OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 4OG→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A; B; C; D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A; B; C; D tạo thành hình bình hành là

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:

BD→ = BA→ + BC→

+ Với mọi điểm O bất kì khác A; B; C; D ta có:

BD→ = BA→ + BC→ ⇔ OD→ - OB→ = OA→ - OB→ + OC→ - OB→ ⇔ OA→ + OC→ = OB→ + OD→

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→ = a→; SB→ = b→; SC→ = c→; SD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a→ + c→ = d→ + b→

B. a→ + b→ = c→ + d→

C. a→ + d→ = b→ + c→

D. a→ + b→ + c→ + d→ = 0→

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ ”. Khẳng định nào sau đây sai?

A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I; J lần lượt là trung điểm AB và CD).

B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .

D. Chưa thể xác định được.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Xét phương án A:

   + Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.

   + Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ ⇔ 2GI→ + 2GJ→ = 0→ ⇔ GI→ + GJ→ = 0→

⇒ G là trung điểm đoạn IJ.

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: AB→ + B₁C₁→ + DD₁→ = kAC₁→

A. k = 4               B. k = 1               C. k = 0               D. k = 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Ta có: AB→ + B₁C₁→ + DD₁→ = AB→ + BC→ + CC₁→ = AC₁→

Nên k = 1.

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A₁B₁C₁ . Đặt AA₁→ = a→; AB→ = b→; AC→ = c→; BC→ = d→;trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Hướng dẫn giải

Chọn C.

+ Ta có:

Ví dụ 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→.

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ = CD→.

C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB→ + SD→ = SA→ + SC→ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ + AC→ = AD→.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét phương án C:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁ với tâm O. Chọn đẳng thức sai.

Lời giải:

Chọn A

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có :

Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB ; CD và G là trung điểm của MN. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MG→

B. GA→ + GB→ + GC→ = GD→

C. GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→

D. GM→ + GN→ = 0→

Lời giải:

Chọn B.

Do M ; N ; G lần lượt là trung điểm của AB ; CD ; MN theo quy tắc trung điểm :

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn: GS→ + GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. G; S; O không thẳng hàng.

B. GS→ = 4OG→

C. GS→ = 5OG→

D. GS→ = 3OG→

Lời giải:

Chọn B

Câu 4: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Chọn đẳng thức sai?

Lời giải:

Chọn D.

Ta xét các phương án :

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi P; Q là trung điểm của AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

Lời giải:

Chọn B

Ta có: PQ→ = PB→ + BC→ + CQ→     (1)

Và PQ→ = PA→ + AD→ + DQ→     (2)

Từ (1) và (2) vế cộng vế ta được:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→ = a→; SB→ = b→; SC→ = c→; SD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MG→

B. GA→ + GB→ + GC→ = GD→

C. GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→

D. GM→ + GN→ = 0→

Lời giải:

Chọn A

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Hãy chứng minh: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}+\overrightarrow{DD\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$.

b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA\text{'}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C\text{'}D}=\overrightarrow{0}$.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}$.

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{SA}$ bằng bao nhiêu?

Bài 5. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt $\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}.$ Tính $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$ theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.

---