Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Bài viết Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác.

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

A. Phương pháp giải

* Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ a→; b→ không cùng phương và vectơ c→ . Khi đó ba vectơ a→; b→; c→ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c→ = ma→ + nb→. Ngoài ra cặp số (m, n) là duy nhất.

* Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a→; b→; c→. Khi đó với mọi vectơ x→ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x→ = ma→ + nb→ + pc→. Ngoài ra bộ ba số (m, n, p) là duy nhất.

* Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp và trung điểm đoạn thẳng...

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’. Đặt CA→ = a→, CB→ = b→, AA'→ = c→ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta phân tích:

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC'→ = u→, CA'→ = v→, BD'→ = x→, DB'→ = y→. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng quy tắc 3 điểm : AB→ + BC→ = AC→ ta được :

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x→ = AB→, y→ = AC→, z→ = AD→. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi M là trung điểm CD

Ta có :

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC'→ = u→, CA'→ = v→, BD'→ = x→, DB'→ = y→. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

+ Gọi J; K lần lượt là trung điểm của AB; CD.

+ Ta có:

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi M là trung điểm BC. Ta có:

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

Vì M là trung điểm của BC suy ra BM→ = (1/2).BC→

Ta có

Chọn A

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

Vì M; P lần lượt là trung điểm của AB; CD ⇒

Ta có:

Chọn D

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

Lời giải:

Chọn B.

A. Sai vì

B. Đúng vì

C. Sai. theo câu B suy ra

D. sai vì BB₁→ + B₁A₁→ + B₁C₁→ = BA₁→ + BC→ = BD₁→

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁. Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

Lời giải:

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp:

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'→ = a→, AB→ = b→, AC→ = c→. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC'→ qua các vectơ a→, b→, c→.

Lời giải:

Chọn D.

Ta có:

Câu 4: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Lời giải:

Chọn C

+ A đúng theo định nghĩa trọng tâm tứ diện.

+ B đúng do tính chất của trọng tâm tứ diện.

+ Do G là trọng tâm tứ diện ABCD

⇒ D đúng

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN→ = k(AC→ + BD→)

A. k = (1/2)                    B. k = (1/3)                    C. k = 3                    D. k = 2

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

Lời giải:

Chọn D

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên:

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng.

Lời giải:

Chọn D

Xét phương án D; áp dụng quy tắc trung điểm và quy tắc phép trừ hai vecto ta có :

Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→ gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt a→ = AA'→, b→ = AB→, c→ = AC→. Gọi G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Vectơ AG'→ bằng:

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của B’C’

Vì G’ là trọng tâm của tam giác

Ta có

Chọn B.

Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. a→ = AA'→, b→ = AB→, c→ = AC→. Hãy biểu diễn vectơ B'C→ theo các vectơ a→, b→, c→

Lời giải:

Vì BB’C’C là hình bình hành nên

Chọn D

Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB→ = a→, AC→ = b→, AA'→ = c→. Gọi I là trung điểm của B’C’; K là giao điểm của A’I và B’D’. Mệnh đều nào sau đây đúng ?

Lời giải:

+ Vì I là trung điểm của

Và K là giao điểm của A’I và B’D’ nên theo định lí Talet

+ Ta có

Chọn A.

---