Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương (hay, chi tiết)

Bài viết Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương.

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

+ Hai vecto a→ và b→ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+ Để chứng minh hai vecto cùng phương ta có thể làm theo hai cách sau:

    - Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

    - Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0: a→ = k.b→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho u→ = 2a→ + b→ và v→ = -6a→ - 3b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Ta có: v→ = -6a→ - 3b→ = -3(2a→ + b→)

⇒ v→ = -3u→

⇒ u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng.

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ - b→, y→ = -4a→ + 2b→, z→ = -3b→ - 2c→. Chọn khẳng định đúng?

A. Hai vectơ y→, z→ cùng phương

B. Hai vectơ x→, y→ cùng phương

C. Hai vectơ x→, z→ cùng phương

D. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Nhận thấy: y→ = -2x→ nên hai vectơ x→, y→ cùng phương.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→ thì ABCD là hình thang.

B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ .

C. Nếu ABCD là hình thang thì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→.

D. Nếu SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ thì ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Chọn C

A. Đúng vì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→

⇔ OA→ + OB→ + 2OC→ + 2OD→ = O→

Vì O; A; C và O; B; D thẳng hàng nên đặt

B. Đúng.

Ta có:

C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD; BC thì sẽ sai.

D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = -1; m = - 1

⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.

Ví dụ 4: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = 2a→ - 3b→ và v→ = 3a→ - 9b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→

Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:

⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.

⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chọn mệnh đề đúng?

A. Hai vecto MN→ và DD'→ là cùng phương

B. Hai vecto AM→ và B'C→ là cùng phương

C. Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương

D. Hai vecto DN→ và MA'→ là cùng phương

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác AMCN có:

AM = CN = (1/2)BC = (1/2)AD

AM // CN

⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành

⇒ AN // MC nên Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương.

Chọn C

Ví dụ 6: : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?

A. B'B→                        B. C'C→                        C. AA'→                        D. AB'→

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

⇒ IJ // AA’ // CC’

⇒ AA'→ cùng hướng với vecto IJ→

chọn C

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = a→ - 2b→ và v→ = 3a→ - 5b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Lời giải:

Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→

Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:

⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.

⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.

Chọn D

Câu 2: Cho hai điểm phân biệt A; B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OA→ + OB→

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = kBA→

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = kOA→ + (1-k)OB→

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = k(OB→ - OA→)

Lời giải:

Chọn C

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M; N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số MN/BD' bằng?

A. (1/3)                   B. (1/2)                    C. 1                    D. (2/3)

Lời giải:

Chọn A

Vậy các điểm M; N được xác định bởi

Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?

A. GG'→                        B. GA'→                        C. AG'→                        D. AB'→

Lời giải:

Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

⇒ IJ // AA’ // CC’

+ Do G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên GG’// BB’// IJ

⇒ vecto IJ→ cùng hướng với vecto GG'→.

Chọn A

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, SB, AB và AC. Tìm mệnh đề đúng?

A. Hai vecto NM→ và BC→ cùng phương và ngược hướng

B. Hai vecto PQ→ và BC→ cùng phương và ngược hướng

C. Hai vecto PQ→ và NM→ cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto QP→ và NM→ cùng phương và ngược hướng .

Lời giải:

+ Xét tam giác SBC có M và N lần lượt là trung điểm của SC và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN // BC. (1)

+ Xét tam giác SAB có P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PQ là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒ PQ // BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // PQ.

⇒ Hai vecto QP→ và NM→ cùng phương và ngược hướng .

Chọn D

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\overrightarrow{c}=\left(2;1\right),\overrightarrow{d}=\left(-6;m\right)$. Với giá trị nào của m thì $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$ là hai vectơ cùng phương?

Bài 2. Cho $\overrightarrow{x}=\left(-1;3\right),\overrightarrow{y}=\left(2;a\right)$. Hãy tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ biết $2\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{y}-\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}=\left(-2;1\right)$.

Bài 3. Cho $\overrightarrow{a}=\left(2;-3\right),\overrightarrow{b}=\left(1;2\right);\overrightarrow{c}=\left(2;-24\right)$. Hãy tính $\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ và cho biết $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{c}$ có phải là hai vectơ cùng phương hay không? Tại sao?

Bài 4. Cho hai vectơ sau: $\overrightarrow{m}=\left(x;-2\right),\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)$. Hỏi với giá trị nào của x thì $\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$ là hai vectơ cùng phương.

Bài 5. Cho tam giác ABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ nào?

Bài 6. Trong hình dưới đây, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Bài 7. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.

a) Tìm các vectơ khác vectơ không $\left(\ne \overrightarrow{0}\right)$ và cùng phương với $\overrightarrow{AO}$.

b) Tìm các vectơ bằng với các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$

Bài 8. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

B. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.

C. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.

D. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC = BC.

Bài 9. Hai vectơ bằng nhau khi hai vectơ đó có:

A. Cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

B. Song song và có độ dài bằng nhau.

C. Cùng phương và có độ dài bằng nhau.

D. Thỏa mãn cả ba tính chất trên.

Bài 10. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau.

B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng phương.

C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song nhau.

D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng.

---