Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.

Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1.

Khi đó tổng n số hạng đầu tiên được tính theo công thức: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho dãy số (u_n) xác định bởi  . Tính tổng S = u₂ + u₄ + u₆ + ..+ u₁₄.

Hướng dẫn giải:

Ta có:  $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{4^{\frac{n+1}{2}+2}}{4^{\frac{n}{2}+2}}=2$ ∀n.

$\Rightarrow$ Dãy số (u_n ) là cấp số nhân với u₁ = 32 và công bội q = 2.

Các số u₂; u₄; u₆; ...; u₁₄ lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u₂ = u₁ . q = 64 và công bội q' = 2q = 4.

Tổng của 7 số hạng u₂; u₄; ...; u₁₄ là: $S=64\cdot \frac{1-4^7}{1-4}=349504$ .

Ví dụ 2. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi cấp số nhân đó là (u_n) với  $n=\overline{1;7}$.

Theo đề bài, ta có:

Từ (2) ta có: ${\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^6-243\cdot {\text{u}}_1\cdot \text{q}=0$

$\iff {\text{u}}_1\text{q}\cdot \left({\text{q}}^5-243\right)=0\Rightarrow {\text{q}}^5-243=0$

$\iff$ q= 3. Thay vào (1) ta được: ${\text{u}}_1\cdot 3^3=6$$\iff {\text{u}}_1=\frac{2}{9}$ .

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là

$u_1=\frac{2}{9};u_2=\frac{2}{3};u_3=2;u_5=18;u_6=54;u_7=162$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tổng $\text{S}=3+{\left(-3\right)}^2+3^3+{\left(-3\right)}^4+\dots +{\left(-3\right)}^{20}$  có giá trị là

$A.\frac{3\left(3^{20}-1\right)}{2}$;

$B.3^{30}-1$;

$C.\frac{2\left(3^{20}-1\right)}{3}$;

$D.10\cdot \left(3^{20}-3\right)$.

Bài 2. Tổng $S=\left(-1\right)+{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^3+\cdots +{\left(-1\right)}^{41}$ có giá trị là

A. 1;

B. –1;

C. 0;

D. 20,5.

Bài 3. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và công bội là số nguyên tố bé nhất, biết S_k = 189. Hỏi k bằng bao nhiêu?

A. k = 4;

B. k = 5;

C. k = 7;

D. k = 6.

Bài 4. Tổng $S_n=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\mathrm{..}+\frac{1}{4^n}$  có giá trị là

$A.1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$;

Bài 5. Cho biết  ${\text{S}}_{\text{n}}=5+55+555+\dots +555\dots .5$. Giá trị của S_n là

A. $\frac{10}{21}\left({10}^n-1\right)-\frac{5n}{9}$ ;

B. $\frac{50}{81}\left({10}^n-1\right)-\frac{5n}{9}$ ;

C. $\frac{10}{9}\left({10}^n-1\right)-\frac{5n}{9}$ ;

D. Đáp án khác.

Bài 6. Cấp số nhân cho bởi công bội q = 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486. Phần tử đầu tiên của cấp số nhân là

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Bài 7. Giá trị của $B=7+77+777+\cdots +\underset{n\text{ sô 7}}{\underbrace{\text{77}\mathrm{...}\text{7 }}}$  là

A. $\frac{7\left({10}^{n+1}-9n-10\right)}{81}$ ;

B. $\frac{7\left({10}^n-9n-10\right)}{81}$ ;

C. $\frac{7\left({10}^{n+1}-9n-10\right)}{9}$ ;

D. $\frac{{10}^{n+1}-9n-10}{81}$ .

Bài 8. Cho dãy số (u_n) xác định bởi  $u_1=\frac{1}{3}{\text{ và u}}_{\text{n}+1}=\frac{\text{n}+1}{3\text{n}}{u}_{\text{n}}$.

Tổng  có giá trị bằng

A. $\frac{3280}{6561}$ ;

B. $\frac{29524}{59049}$ ;

C. $\frac{25942}{59049}$ ;

D. $\frac{1}{243}$ .

Bài 9. Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: u₁ = 4; q = 2 và S_n = 2 044. Giá trị của S_2n là

A. 4 088;

B. 16 352;

C. 4(2¹² – 1);

D. 4(2¹⁸ – 1).

Bài 10. Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn. . Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Bài tập về tính chất của cấp số nhân

• Giải bài toán thực tế về cấp số nhân

• Đọc và giải thích mẫu số liệu

• Ghép nhóm mẫu số liệu

• Số trung bình, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa

---