Số trung bình, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Số trung bình, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Số trung bình, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa.

Số trung bình, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cho mẫu số liệu ghép nhóm

a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\overline{x}$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:

$\overline{x}=\frac{m_1{x}_1+\mathrm{...}+m_k{x}_k}{n}$.

Trong đó n = m₁ + ... + m_k là cỡ mẫu và $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$ (với i = 1; …; k) là giá trị đại diện của nhóm [a­­_i; a_i+1)

+ Chú ý: Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng k₁ – k₂, trong đó k₁, k₂ $\in$ ℕ. Nhóm k₁ – k₂ được hiểu là nhóm gồm các giá trị k₁, k_{1 + 1},…, k₂. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng bảng tần số trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng cách hiệu chỉnh nhóm k₁ – k₂ với k₁, k₂ $\in$ ℕ thành nhóm [k₁ – 0,5; k₂ + 0,5).

+ Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

b) Mốt

– Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j, đó là [a_j; a_j+1).

Bước 2. Mốt được xác định là: $M_O=a_j+\frac{m_j-m_{j-1}}{\left(m_j-m_{j-1}\right)+\left(m_j-m_{j+1}\right)}\cdot h,$ trong đó m_j là tần số của nhóm j (quy ước m₀ = m_k+1 = 0) và h là độ dài của nhóm.

+ Chú ý: Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.

+ Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

Tính quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này.

Hướng dẫn giải:

Cỡ mẫu: n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25.

Trong mỗi khoảng quãng đường, giá trị đại diện là trung bình cộng của hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Vậy quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này là:

$\overline{x}=\frac{2\cdot 3+5\cdot 5+6\cdot 7+9\cdot 9+3\cdot 11}{25}=\mathrm{7,48}$(km).

Ví dụ 2. Mức thưởng tết (triệu đồng) mà các công nhân một nhà máy nhận được như sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm. Cho biết ý nghĩa của giá trị thu được.

Hướng dẫn giải:

Cỡ mẫu: n = 13 + 35 + 47 + 25 = 120.

Số công nhân có mức thưởng tết từ 15 đến dưới 20 triệu đồng là nhiều nhất nên nhóm chứa mốt là nhóm [15; 20).

Ta có, j = 3, a₃ = 15; m₃ = 47; m₂ = 35; m₄ = 25; h = 20 – 15 = 5.

Do đó, mốt của mẫu số liệu là $M_O=15+\frac{47-35}{\left(47-35\right)+\left(47-25\right)}\cdot 5\approx \mathrm{16,76.}$

Ý nghĩa: Số công nhân nhận được mức thưởng tết khoảng 16,76 triệu đồng là nhiều nhất.

Ví dụ 3. Một bưu tá thống kê lại số bưu phẩm gửi đến một cơ quan mỗi ngày trong tháng 6/2023 ở bảng sau:

30	32	28	34	37	26	44	24	22	38
34	20	30	27	28	34	38	32	42	39
43	42	32	26	36	32	37	24	29	32

a) Tính số trung bình và mốt của mẫu số liệu trên.

b) Tổng hợp lại số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải:

a) Số trung bình của mẫu số liệu là: $\frac{30+32+28+\mathrm{...}+29+32}{30}=\mathrm{32,4.}$

Mốt của mẫu số liệu là 32 (với tần số là 5).

b) Bảng tần số ghép nhóm theo mẫu được hoàn thành như sau:

c) Do số bưu phẩm là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng tần số ghép nhóm như sau:

Số bưu phẩm	[19,5; 24,5)	[24,5; 29,5)	[29,5; 34,5)	[34,5; 39,5)	[39,5; 44,5)
Giá trị đại diện	22	27	32	37	42
Số ngày	4	6	10	6	4

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x}=\frac{4\cdot 22+6\cdot 27+10\cdot 32+6\cdot 37+4\cdot 42}{30}=32.$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm [29,5; 34,5).

Ta có: m = 3, u₃ = 29,5; n₂ = 6; n₃ = 10; n₄ = 6; u₄ – u₃ = 34,5 – 29,5 = 5.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_O=29,5+\frac{10-6}{\left(10-6\right)+\left(10-6\right)}\cdot 5=32.$

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Mẫu số liệu ghép nhóm với tần số các nhóm bằng nhau có số mốt là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. Không có mốt.

Bài 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là

A. 5,0;

B. 5,32;

C. 5,75;

D. 6,5.

Bài 3. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau:

Nhóm chứa mốt là

A. [2; 3,5);

B. [3,5; 5);

C. [5; 6,5);

D. [6,5; 8).

Bài 4. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ (đơn vị tính là năm) của một loại bóng đèn mới như sau.

Mẫu số liệu trên có bao nhiêu mốt?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 5. Cho bảng số liệu về chiều cao của 100 học sinh một trường trung học phổ thông dưới đây.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

A. 157,76;

B. 158,25;

C. 157,5;

D. 160,28.

Bài 6. Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:

Chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm ghép lớp thì cân nặng trung bình của 28 học sinh nam lớp 11 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là

A. 55,6;

B. 65,5;

C. 48,8;

D. 57,7.

Bài 7. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở lô hàng A được cho ở bảng sau:

Nhóm chứa mốt là nhóm nào?

A. [150; 155);

B. [155; 160);

C. [165; 170);

D. [170; 175).

Bài 8. Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Mẫu số liệu ghép nhóm này có mốt là:

A. 59;

B. 40;

C. 52;

D. 53.

Bài 9. Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Mốt của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. [40; 60);

B. [20; 40);

C. [60; 80);

D. [80; 100).

Bài 10. Khảo sát cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilogam), ta có bảng tần số ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 25;

B. 25,8;

C. 30;

D. 40.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa

• Xác định quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

• Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

---