Vectơ và hệ tọa độ trong không gian lớp 12 (Chuyên đề dạy thêm Toán 12)

Tài liệu Chuyên đề Vectơ và hệ tọa độ trong không gian lớp 12 trong Chuyên đề dạy thêm Toán 12 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 12.

Vectơ và hệ tọa độ trong không gian lớp 12 (Chuyên đề dạy thêm Toán 12)

Xem thử

Chỉ từ 400k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 12 (sách mới) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. Kiến thức cần nhớ

1. Vectơ trong không gian

• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

• Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B.

• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{a}\right|$.

• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

• Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

• Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng nhau thì ta viết là $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

• Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.

Vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$.

• Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},...$

• Trong không gian, cho điểm O và vectơ $\overrightarrow{a}$, tồn tại duy nhất điểm M để $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}$

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

a) Tổng của hai vectơ

⮚ Trong không gian, cho hai vec tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Lấy ba điểm O, A, B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$. Ta gọi $\overrightarrow{OB}$ là tổng của hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

• Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

• Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right);$

• Với mọi vectơ $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

• Với ba điểm A, B, C ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (Quy tắc ba điểm)

• Nếu ABCD là hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (Quy tắc hình bình hành)

• Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ (Quy tắc hình hộp)

b) Hiệu của hai vectơ

⮚ Trong không gian, cho hai vec tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Ta gọi $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ là hiệu của hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

• Quy tắc hiệu: Trong không gian, với ba điểm A, B, C ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

3. Tích của một số với một vectơ

⮚ Trong không gian, cho số k≠0 và vec tơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của số k với vec tơ $\overrightarrow{a}$ là một vec tơ, kí hiệu $k\overrightarrow{a}$, cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$. Phép lấy tích của một số với một vec tơ được gọi là phép nhân một số với một vec tơ.

⮚ Quy ước $0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ và $k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Nhận xét: Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

• Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}$

• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

4. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Góc giữa hai vectơ trong không gian

⮚ Trong không gian, cho hai vec tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vec tơ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó, ta gọi $\widehat{BAC}$ là góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

▪ 0^o ≤ $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ ≤180^o;

▪ Nếu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ = 90^o thì ta nói $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}.$

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Ta gọi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ là tích vô hướng của hai vec tơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},$ ta có:

à→ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ , được xác định bởi công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

▪ Trong trường hợp $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, ta quy ước $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

▪ b) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2$; ${\overrightarrow{u}}^2\ge 0,$ ${\overrightarrow{u}}^2=0\iff \overrightarrow{u}=0$

▪ Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác _{$\overrightarrow{0},$} ta có $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$

▪ Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0},$ ta có _{$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$}

Nhận xét: Với ba vectơ $\overrightarrow{a}\text{,}\overrightarrow{b}\text{,}\overrightarrow{c}$và số k, ta có:

▪ $\overrightarrow{a}\text{.}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$

▪ $\overrightarrow{a}\text{.}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\text{.}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\text{.}\overrightarrow{c}$

▪ $\left(k\overrightarrow{a}\right)\text{.}\overrightarrow{b}=k\left(\overrightarrow{a}\text{.}\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}\text{.}\left(\text{k}\overrightarrow{b}\right)$

B. Các dạng bài tập & phương pháp giải

Dạng 1. Vectơ trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình vẽ).

a) Giá của ba vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

b) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$

c) Tìm các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AD}$

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy.

b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ SA.

c) Tìm các vectơ đối của vectơ CB.

Dạng 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình vẽ).

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

b) So sánh hai vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AD}$

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Tìm các vectơ tổng $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$

Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.

a) Tìm các vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$

Ví dụ 7. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Thực hiện các phép toán sau đây:

a) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CG}$

b) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}$

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{EH}$

d) $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB}$

Ví dụ 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Tìm các vectơ hiệu $\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{DC};\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{DA}$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 12 các chủ đề hay khác:

• Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Chuyên đề Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

• Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân

• Chuyên đề Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

• Chuyên đề Xác suất có điều kiện

---