Nguyên hàm, Tích phân lớp 12 (Chuyên đề dạy thêm Toán 12)

Tài liệu Chuyên đề Nguyên hàm, Tích phân lớp 12 trong Chuyên đề dạy thêm Toán 12 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 12.

Nguyên hàm, Tích phân lớp 12 (Chuyên đề dạy thêm Toán 12)

Xem thử

Chỉ từ 400k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 12 (sách mới) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. Kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm nguyên hàm

⮚ Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu: F'(x) = f(x), ∀x ∈ K

⮚ Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

• Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C là một nguyên hàm của f(x) trên K.

• Nếu G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C, ∀x∈K

⮚ Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Ta gọi F(x) + C, C∈ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu: $\int f\left(x\right)\text{d}x$ và viết là:

$\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$

⮚ Chú ý:

• Biểu thức f(x) được gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

• Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(x\right)+C.$

2. Tính chất của nguyên hàm

• $\int kf\left(x\right)\text{d}x=k.\int f\left(x\right)\text{d}x,$ với k là hằng số khác

• $\int \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x+\int g\left(x\right)\text{d}x.$

• $\int \left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x-\int g\left(x\right)\text{d}x.$

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

B. Các dạng bài tập & phương pháp giải

Dạng 1. Chứng minh hàm số là một nguyên hàm của trên

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

a) F(x) = 5x + x² là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5 + 2x trên ℝ

b) G(x) = tanx là một nguyên hàm của hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$

c) Chứng minh rằng F(x) = xlnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0: +∞)

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = 3x² xác định trên $ℝ$

a) Chứng minh rằng F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ

b) Với C là hằng số tuỳ ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?

c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) - F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) - F(x)?

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xe^x, suy ra nguyên hàm của hàm số F(x) = (x + 1)e^x

Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) = x² - 2x. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ?

a) $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-x^2;$

b) $G\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+x^2$

Ví dụ 5. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞)?

a) $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\ln x;$

b) $G\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\ln x$

Ví dụ 6. Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vi sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞)

b) F(x) = e^sinx và f(x) = e^cosx trên ℝ.

Dạng 2. Tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (dùng bảng nguyên hàm)

2.1) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Ví dụ 7. Tìm:

a) $\int x^6\text{d}x$;

b) $\int x^2\text{d}x$ trên ℝ;

c) $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x$.

d) $\int x^4\text{d}x$;

e) $\int \frac{1}{x^3}\text{d}x$;

f) $\int \sqrt{x}\text{d}x(x>0)$.

Ví dụ 8. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x⁵ + 2x - 3 biết F(-1) = -5.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+\frac{1}{x^2}$ với mọi x∈(0; +∞) và f(1) = 1. Tính giá trị f(4).

2.2) Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Ví dụ 10. Tính các nguyên hàm

a) $\int \frac{3}{x}dx$

b) $\int \frac{4}{9x}dx$

c) $\int \left(x^2+\frac{3}{x}\right)dx$

d) $\int \left(3x^2-\frac{5}{2x}\right)dx$

e) $\int \frac{2x^4+3}{x}dx$

f) $\int \frac{x-1}{x^2}dx$

2.3) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Cần nhớ: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1,$ $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x.$

Ví dụ 11. Tính các nguyên hàm

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thoả mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=2$

2.4) Nguyên hàm của hàm số mũ

Ví dụ 13. Tính các nguyên hàm

Ví dụ 14. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2^x thỏa mãn F(0) = 1.

Dạng 3. Một số bài toán thực tế liên quan

Ví dụ 15. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công thức v(t) = -9,8t + 19,6 (m/s)

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t

b) Hỏi sau bao nhiều lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất.

Ví dụ 16. Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 4cos t, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng centimét/giây. Tại thời điểm t = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng. Lập phương trình chuyển động của con lắc đó?

Ví dụ 17. Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 80 m. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đáp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tố độ v(t) = -10t + 30 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phan. Gọi S(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t giây kể từ lúc đạp phhan.

a) Lập công thức biểu diễm hàm số s(t)

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng lại hẳn là bao nhiêu giây?

c) Quãng đường xe ô tô đã di chuển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe dừng lại hẳn là bao nhiêu mét? Xeo ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật trên đường hay không?

C. Bài tập tự luận rèn luyện

Dạng 1. Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K

Bài 1. Thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) $F\left(x\right)=\frac{x^5}{5}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x⁴. Tại sao?

b) F(x) = sinx là một nguyên hàm của f(x) = cosx hàm số trên R. Tại sao?

c) F(x) = cotx là một nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

d) Chứng minh rằng F(x) = x⁵ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x⁴ trên R

e) Chứng minh rằng F(x) = e^2x+1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^2x+1 trên R.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 12 các chủ đề hay khác:

• Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Chuyên đề Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

• Chuyên đề Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

• Chuyên đề Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

• Chuyên đề Xác suất có điều kiện

---