Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu lớp 12 (Chuyên đề dạy thêm Toán 12)

Tài liệu Chuyên đề Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu lớp 12 trong Chuyên đề dạy thêm Toán 12 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 12.

Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu lớp 12 (Chuyên đề dạy thêm Toán 12)

Xem thử

Chỉ từ 400k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 12 (sách mới) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. Kiến thức cần nhớ

1. Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương.

• Vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ là VTPT của mp (P) nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mp (P).

• Nếu hai vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0};\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mp (P) thì $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ được gọi là cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng (P) và $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ là vectơ pháp tuyến của mp (P).

Cụ thể: $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁); $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) thì $\overrightarrow{w}=\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$ = (y₁z₂ - y₂z₁; z₁x₂ - z₂x₁; x1y2 - x2y1). Vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ và được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$

Chú ý:

• Nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì $k.\overrightarrow{n},\text{(}k\ne 0)$ cũng là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết được một điểm và một vectơ pháp tuyến hoặc một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

• Mặt phẳng (α) đi qua điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=$(A; B; C) thì mp(α) có phương trình: (α) = A(x - x₀) + B(y - y₀) + C (z - z₀) = 0 hay Ax + By + Cz + D = 0 với D = - Ax_o - By_o - Cz_o được gọi là hệ số tự do của phương trình.

• Phương trình đoạn chắn: Mp (α) đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình:

(α): $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song – vuông góc.

⮚ Cho hai mặt phẳng (P): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (Q): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(A_1;B_1;C_1);\overrightarrow{n_2}=(A_2;B_2;C_2)$

$·\left(P\right)\parallel \left(Q\right)\iff \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}\\ D_1\ne k{D}_2\end{array}\right.,(k\in ℝ)$

$·\left(P\right)\perp \left(Q\right)\iff \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0$⇔ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

⮚ Khoảng cách từ điểm M(x_M; y_M; z_M)đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được xác định bởi công thức:

$d(M;(P\left)\right)=\frac{\left(A{x}_M+B{y}_M+C{z}_M+D\right)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\cdot$

B. Các dạng bài tập & phương pháp giải

Dạng 1. Tìm vectơ pháp tuyến – cặp vectơ chỉ phương

Ví dụ 1. Tìm véctơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P); (Oxy); (Oyz); (Oxz)

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

a) Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABCD)

b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{m}$ = (1; 0; - 3), $\overrightarrow{n}$ = (0; 0; 3). Hãy tìm vectơ $\overrightarrow{p}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$

Ví dụ 4. Cho mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;3;5),$$\overrightarrow{b}=(-3;-1;1)$

Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Ví dụ 5. Tìm véctơ pháp tuyến của mp (P) biết cặp véc tơ chỉ phương là

a) $\overrightarrow{a}=\left(1;3;5\right),\overrightarrow{b}=\left(-3;-1;1\right)$

b) $\overrightarrow{m}=\left(-1;2;3\right),\overrightarrow{n}=\left(3;4;1\right)$

c) $\overrightarrow{u}=\left(4;2;3\right),\overrightarrow{v}=\left(-3;2;1\right)$

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3)

Ví dụ 7. Cho biết hai vectơ $\overrightarrow{a}=(2;1;1),\overrightarrow{b}=(1;-2;0)$ có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình vẽ .

Tìm vectơ $\overrightarrow{n}$ có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc.)

Ví dụ 8. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\overrightarrow{F}$ để vặn con ốc ở vị trí O (H.vẽ) thì moment lực $\overrightarrow{M}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{M}=[\overrightarrow{OP},\overrightarrow{F}]$

a) Cho $\overrightarrow{OP}=(x;y;z),\overrightarrow{F}=(a;b;c)$. Tính $\overrightarrow{M}$

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho $\overrightarrow{O{P}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng

Ví dụ 9. Chỉ ra véctơ pháp tuyến trong các mặt phẳng sau

a) 2x - 3y + z - 2 = 0

b) x + 5y - z + 3 = 0

c) x - z + 6 = 0

d) 2y + z + 1 = 0

Ví dụ 10. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P) 3x - 5y + 7z + 5 = 0 và (Q): x + y - 2 = 0

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q)

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm: A(1; 3; 1), B(1; 2; 3)

Ví dụ 11. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$

Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4; 0; 1) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;2;1),\overrightarrow{b}=(2;1;3)$

Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 2), C(4; 1; 0)

Ví dụ 14. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.

Dạng 3. Hai mặt phẳng song song – vuông góc

Ví dụ 15. Mặt phẳng (P): 4x + 3y + z+ 5 = 0 song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) (Q): 8x + 6y + 2z + 9 = 0

b) (R): 8x + 6y + 2z + 10 = 0

c) (S): 4x + 2y + z + 5 = 0

Ví dụ 16. Chứng minh hai mặt phẳng (P₁): 2x – y – 3z + 1 = 0 và (P₂): 6x – 3y – 9z + 1 = 0 song song với nhau

Ví dụ 17. Chứng minh hai mặt phẳng: (P₁): x – y – 2z + 4 = 0 và (P₂): x – y + z + 5 = 0 vuông góc với nhau

Ví dụ 18. Chứng minh mặt phẳng (P): x + 2z – 3 = 0 vuông góc với mp(Ozx)

Ví dụ 19. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (P): 2x + y + z+ 12 =0

Ví dụ 20. Mặt phẳng (E): 2x - y + 8z + 1 = 0 song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) (F): 8x - 4y + 32z + 7 = 0

b) (H): 6x - 3y + 24z + 3 = 0

c) (G): 10x - 5y + 41z + 1 = 0

Ví dụ 21. Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là: (P): x - 4y + 3z + 2 = 0; (Q): 4x + y + 88 = 0 và (R): x + y + z + 9 =0. Chứng minh rằng $\left(P\right)\perp \left(Q\right)$ và $\left(P\right)\perp \left(R\right)$

Ví dụ 22. Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:

(F): 3x + 2y + 5z + 3 = 0,

(H): x - 4y + z + 23 = 0

(G): x - y + 3z + 24 = 0

Ví dụ 23. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; 1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (β) có phương trình là 2x - y + 3z - 1 = 0

Ví dụ 24. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(-3; 2; -1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 1 = 0, (Q): x + 2y - 2z + 3 = 0

Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ 25. Tính khoảng cách từ điểm M(2; -3; 1) đến các mặt phẳng

a) (P): 4x + 5y + 2z – 1 = 0

b) (Q): x – 4y + 3z + 2 = 0

c) -3x + 5y + 2z – 4 = 0

e) mp(Oxy)

f) mp(Oyz)

g) mp(Oxz)

Ví dụ 26. Chứng minh hai mặt phẳng sau song song và tính khoảng cách hai mặt phẳng đó

a) (P): 2x – 4y – 4z + 3 = 0 và (Q): x – 2y – 2z + 1 = 0

b) (P): 6x – 8y – 3 = 0 và (Q): 3x – 4y + 2 = 0

Ví dụ 27. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3) đến các mặt phẳng sau:

a) (P): x + y+ z + 12 = 0;

b) (Q): 4x + 3y + 10 = 0.

Ví dụ 28. Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là S(5; 0; 1), A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(5; 2; 3)

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 12 các chủ đề hay khác:

• Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Chuyên đề Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

• Chuyên đề Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

• Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân

• Chuyên đề Xác suất có điều kiện

---