Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến (cực hay, có lời giải)

Bài viết Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến cực.

Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến (cực hay, có lời giải)

A. Phương pháp giải

Để chứng minh 1 một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:

      + Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ( Nếu có)

      + Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A = (x² - x).(x + 1) - (x² + x).(x - 1)

Chứng minh

Ta có: A = (x² - x).(x + 1) - (x² + x).(x - 1)

      A = x²(x + 1) - x.(x + 1) - x²(x - 1) - x(x - 1)

      = x³ + x² - x² - x - x³ + x² - x² + x

      = (x³ - x³) + (x² - x² + x² - x²) + (x - x)

      = 0 + 0 + 0

      = 0

Vậy giá trụ của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

      B = x²(x - 2) - x(x² + x + 1) + x(3x + 1)

Chứng minh

Ta có:

      B = x²(x - 2) - x(x² + x + 1) + x(3x + 1)

      = x².x - x².2 - x.x² - x.x - x.1 + x.3x + x.1

      = x³ - 2x² - x³ - x² - x + 3x² + x

      = (x³ - x³) + (3x² - 2x² - x²) + (x - x)

      = 0 + 0 + 0

      = 0

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào x.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức là ?

A.x + 1

B. 4

C. - 4

D. 1- x

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y

A = (x - y).(x + y) + (y - x).(y + x) + 10

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

A = (x - y).(x + y) + (y - x).(y + x) + 10

= x(x + y) - y(x + y) + y.(y + x) - x(y + x) + 10

= x² + xy - xy - y² + y² + xy - xy - x² + 10

= (x² - x²) + (y² - y²) + (xy - xy + xy - xy) + 10

= 0 + 0 + 0 + 10

= 10

Vậy giá trị của biểu thức A là 10 và không phụ thuộc vào x và y.

Câu 3. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x.

A = x(x² + 10) - (x² + 1)(x - 2) - x(2x + 9) + 2

Lời giải:

Chứng minh

Ta có: A = x(x² + 10) - (x² + 1)(x - 2) - x(2x + 9) + 2

A = x³ + 10x - x²(x - 2) -1.(x - 2) - 2x² - 9x + 2

= x³ + 10x - x³ + 2x² - x + 2 - 2x² - 9x + 2

= (x³ - x³) + (2x² - 2x²) + (10x - x - 9x) + (2 + 2)

= 0 + 0 + 0 + 4

= 4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc giá trị của biến x.

Câu 4. Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến.

A = (x - y²).(x + y²) + (y² - 2).(y² + 2) - x²

Lời giải:

Chứng minh

A = (x - y²).(x + y²) + (y² - 2).(y² + 2) - x²

= x(x + y²) - y²(x + y²) + y²(y² + 2) - 2(y² + 2) - x²

= x² + xy² - xy² - y⁴ + y⁴ + 2y² - 2y² - 4 - x²

=(x² - x²) + (xy² - xy²) + (y⁴ - y⁴) + (2y² - 2y²) - 4

= -4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến

Câu 5. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.

A = (2x - 4).(1 - x²) + x(2x² - 2 - 4x)

Lời giải:

Chứng minh

A = (2x - 4).(1 - x²) + x(2x² - 2 - 4x)

= 2x(1 - x²) - 4(1 - x²) + 2x³ - 2x - 4x²

= 2x - 2x³ - 4 + 4x² + 2x³ - 2x - 4x²

= (2x - 2x) + (2x³ - 2x³) + (4x² - 4x²) - 4

= 0 + 0 + 0 - 4

= -4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x

Câu 6. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x; y

Lời giải:

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 7. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y

A = (9x - 2y).(x - y) + y(3x - 2y) + (1 - x).(1 + x)

Lời giải:

Chứng minh

A = (9x - 2y).(x - y) + y(3x - 2y) + (1 - x).(1 + x)

A = x² - xy - 2xy + 2y² + 3xy - 2y² + 1 + x - x - x²

A = (x² - x²) + (-xy -2xy + 3xy) + (2y² - 2y²) + (x - x) + 1

A = 0 + 0 + 0 + 0 + 1

A = 1

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 8. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y.

A = x³ - y³ + (y -x)(x² + y²) + xy(y - x)

Lời giải:

Chứng minh

A = x³ - y³ + (y - x)(x² + y²) + xy(y - x)

A = x³ - y³ + x²y + y³ - x³ - xy² + xy² x²y

A = (x³ - -x³) + (y³ - y³) + (x²y - x²y) + (xy² - xy²)

A = 0 + 0 + 0 + 0

A = 0

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 9. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y?

A = x²(xy - y - x) - x²y(x - 1) + (x -1)(x² + x + 1)

Lời giải:

Chứng minh

A = x²(xy - y - x) - x²y(x - 1) + (x -1)(x² + x + 1)

A = x³y - x²y - x³ - x³y + x²y + x³ + x² + x -x² - x - 1

A = (x³y - x³y) + (x²y - x²y) + (x³ - x³) + (x² - x²) + (x - x) - 1

A = 0 + 0 + 0 + 0 -1

A = -1

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y

Câu 10. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.

A = x⁴ - (x² - 2).(x² + 2)

Lời giải:

Chứng minh

A = x⁴ - (x² - 2).(x² + 2)

A = x⁴ - (x⁴ + 2x² - 2x² - 4)

A = x⁴ - (x⁴ - 4)

A = x⁴ - x⁴ + 4

A = 4

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến: $\frac{{\left(x^2+1\right)}^2+2x^2+2}{x^4+4x^2+3}$.

Bài 2. Chứng minh giá trị của P không phụ thuộc vào hai biến a, b:

P = (a – 3b)(a² – 1) – (a – b)³ + a(3b² + 1) – b³ – 3b.

Bài 3. Chứng minh giá trị của Q không phụ thuộc vào hai biến a, b:

Q = (x – 1)³ – 8 – (x – 3)(x² + 3).

Bài 4. Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x:

(2x – 3)(x² + 1) – 2x(x – 1)² – x² + 3.

Bài 5. Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến:

(3x² + 6x + 12)(2x – 4) – 6x³ + 48.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách rút gọn biểu thức lớp 8 (cực hay, có lời giải)
• Cách tính giá trị biểu thức lớp 8 (cực hay, có lời giải)
• Cách giải phương trình lớp 8 cực hay, có đáp án
• Cách chứng minh đẳng thức lớp 8 (cực hay, có lời giải)
• Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức cực hay

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---