Cách chứng minh đẳng thức lớp 8 cực hay (có lời giải)

Bài viết Cách chứng minh đẳng thức lớp 8 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh đẳng thức lớp 8.

Cách chứng minh đẳng thức lớp 8 cực hay (có lời giải)

A. Phương pháp giải

Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Chúng ta biến đổi:

      + Cách 1: Vế trái và chứng minh bằng vế phải

      + Cách 2: Vế phải và chứng minh bằng vế trái

      + Cách 3: Vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh: (x² - xy - y).(x + y) + xy(y + 1) = x³ - y²

Lời giải

Ta có: VT = (x² - xy - y).(x + y) + xy(y + 1)

= x³ + x²y - x²y - xy² - xy - y² + xy² + xy

= x³ - y² = VP

Ví dụ 2. Chứng minh 2x + y + y² = (1 - xy + y).(2x + y) + xy(2x + y - 2)

Chứng minh.

Ta có VP = (1 - xy + y).(2x + y) + xy(2x + y -2)

= 2x + y - 2x²y - xy² + 2xy + y² + 2x²y + xy² - 2xy

= 2x + y + y² = VT

Ví dụ 3. Chứng minh: (x²y + xy²).(x - y) = xy(x - y).(x + y)

Chứng minh

+ Ta có:

VT = (x²y + xy²).(x - y)

= x³y - x²y² + x²y² - xy³ = x³y - xy³ (1)

VP = xy(x - y).(x + y)

= xy.(x² - y²) = x³y - xy³ (2)

Từ (1) và (2) suy ra VT= = VP.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Chứng minh rằng: y.(x + y) + (x - y).(x + y) = x(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có: VT = y.( x+ y) + (x – y).(x+ y)

= xy + y² + x² + xy - xy - y²

= xy + x²

= x(y + x)

= VP

Câu 2. Chứng minh rằng: x(x + 1 - 2y) + y(1 - 2y) = (xy + x + y).(x - 2y + 1) - xy(x - 2y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = (xy + x + y).(x - 2y + 1) - xy(x - 2y)

= x²y - 2xy² + xy + x² - 2xy + x + xy - 2y² + y - x²y + 2xy²

= (x²y - x²y) + (- 2xy² + 2xy²) + (xy - 2xy + xy) + x² + x + y - 2y²

= -2xy + x² + x + y - 2y²       (1)

VT = x(x + 1 - 2y) + y(1 - 2y)

= x² + x - 2xy + y - 2y²       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: VT = VP.

Câu 3. Chứng minh (xy + x - 1).(x - y) - xy(x - y + 1) = -2xy - x + y

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x - 1)(x - y) - xy(x - y + 1)

= x²y - xy² + x² - xy - x + y - x²y + xy² - xy

= (x²y - x²y) + (xy² - xy²) + (-xy - xy) - x + y

= -2xy - x + y

= VP

Câu 4. Chứng minh y(x² - 2x + 2) = x(x + xy - 1) + (x - 2y).(x - 1) - 2x(x - 1)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = x(x + xy - 1) += (x - 2y).(x - 1) - 2x(x - 1)

= x² + x²y - x + x² - x - 2xy + 2y - 2x² + 2x

= x²y - 2xy + 2y

= y(x² - 2x + 2)

= VT

Câu 5. Chứng minh (x + y - xy).(x - 1) - x(x + 2y - 2) = -y(x² + 1)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VT = (x + y - xy).(x - 1) - x(x + 2y - 2)

= x² - x + xy - y - x²y + xy - x - x² - 2xy + 2x

= (x² - x²) + (2x - x - x) + (xy + xy - 2xy) - x²y - y

= -x²y - y

= -y(x² + 2)

= VP

Câu 6. Chứng minh x(x + y²) - y(x - y) = ( -xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

VP = (-xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x - y)

= -x²y - xy + x³ + x² + xy² + y² - x³ + x²y

= (-x²y + x²y) + (x³ - x³) + x² + y² + xy² - xy

= x² + y² + xy² - xy      (1)

VT = x(x + y²) - y(x - y)

= x² + xy² - xy + y²      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x(x + y²) - y(x - y) = (-xy + x² + y²)(x + 1) - x²(x + y)

Câu 7. Chứng minh (xy + x + 1).(y - 2) + xy + 2 = y(xy + 1) - 2x

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x + 1).(y - 2) + xy + 2

= xy² - 2xy + xy - 2x + y - 2 + xy + 2

= xy² + (xy + xy - 2xy) - 2x + y + (2 - 2)

= xy² - 2x + y

= (xy² + y) - 2x

= y(xy + 1) - 2x

VP

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh:

(x + y)(x² + xy + y) − xy(2y + 1) = x²(x + 2y +1) + y²(1 – x) – x².

Bài 2. Chứng minh:

(x − 2y)(1 + y − 2xy) + xy(x – y – 1) = x(3y² + 1) – y(2y + 2 + x²).

Bài 3. Chứng minh:

(xy² + x²y )(x – y) = xy(x² – y²).

Bài 4. Chứng minh:

(x − y)(y + x − 2xy) = x²(1 – 2y) – y²(1 – 2x).

Bài 5. Chứng minh:

x(x + 2y – 1) – (x + y – xy).(x – 1) = y(x² + 1).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức cực hay
• Cách rút gọn biểu thức sử dụng hằng đẳng thức cực hay
• Tính giá trị biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức cực hay
• Giải phương trình bằng cách sử dụng hằng đẳng thức cực hay
• Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lớp 8 – dựa vào hằng đẳng thức

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---