Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức cực hay

Bài viết Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức cực hay

A. Phương pháp giải

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

1.Bình phương của một tổng

         (A + B)² = A² + 2AB + B²

2.Bình phương của một hiệu

         (A - B)² = A² - 2AB + B²

3.Hiệu hai bình phương

         A² - B² = (A - B)(A + B)

4.Lập phương của một tổng

         (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5.Lập phương của một hiệu.

         (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

6.Tổng hai lập phương

         A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)

7.Hiệu hai lập phương

         A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

Chú ý: Ta quy ước A² + AB + B² là bình phương thiếu của tổng A + B.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính (a + 3)²

A. a² + 6a + 9          B. a² + 3a + 9          C. a²+ 6a + 3          D. a² +3a + 3

Lời giải

(a + 3)² = a² + 2.a.3 + 3² = a² + 6a + 9

Chọn A.

Ví dụ 2. Viết biểu thức x² + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

A. (x+ 4)²          B. (x+2)²          C. (x+ 1)²          D. (2x +1)²

Lời giải

Ta có x² + 4x + 4 = x² + 2.x.2 + 2² = (x + 2)².

Chọn B.

Ví dụ 3. Tính (2x – 3y)²

A. 4x² - 12xy + y²          B. 4x² + 12xy - 9y²          C. 4x² - 6xy + 9y²          D. 4x² - 12xy + 9y²

Lời giải

Ta có:

(2x - 3y)² = (2x)² - 2.2x.3x + (3y)2

= 4x² - 12xy + 9y²

Chọn D.

Ví dụ 4. Tính (2x – 3y)³

A. 8x³ - 36x²y + 54xy² - 27y³

B. 8x³ - 36x²y + 27xy² - 27y³

C. 8x³ - 54x²y + 36xy² - 27y³

D. 8x³ - 27x²y + 54xy² - 36y³

Lời giải

Ta có:

(2x - 3y)³ = (2x)³ - 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² - (3y)³

= 8x³ - 36x²y + 54xy² - 27y³

Chọn A.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tính ( 5x -y)²

A. 10x² - 10xy + y²

B. 25x² - 5xy + y²

C. 25x² - 10xy + y²

D. x² + 10xy + y²

Lời giải:

(5x - y)² = (5x)² - 2.5x.y + (y)² = 25x² - 10xy + y²

Chọn C.

Câu 2. Viết biểu thức 36x² – 24xy + 4y² dưới dạng bình phương của một hiệu.

A.( 2x- 2y)²

B. (2x – 6y)²

C. (6x – 6y)²

D. ( 6x- 2y)²

Lời giải:

Ta có 36x² - 24x + 4y² = (6x)² - 2.6x.2y + (2y)² = (6x - 2y)²

Chọn D.

Câu 3. Đưa biểu thức sau về dạng tích 81 – 25x²

A. (3 – 5x). (3+ 5x)

B. (9+ 5x). (9- x)

C. (9+ 5x).(9- 5x)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: 81 – 25x² = 9² – (5x)² = (9- 5x). ( 9+5x)

Chọn C.

Câu 4 . Tính 56. 64.

A. 3600

B. 2880

C. 3248

D. 3584

Lời giải:

Ta có:

56.64 = (60 - 5)(60 + 4) = 60² - 4² = 3600 - 16 = 3584

Chọn D.

Câu 5. Viết biểu thức x³ + 6x² +12x + 8 dưới dạng lập phương của một tổng.

A. (x+ 1)³

B. (x+ 2)³

C. (2x +1)³

D. (2x +2)³

Lời giải:

Ta có: x³ + 6x² +12x + 8 = x³ + 3.x².2 + 3.x.2² + 2³ = (x+ 2)³

Chọn B.

Câu 6. Khai triển ( 4x – y)³

A. 64x³ - 48x²y + 12xy² - y³

B. 64x³ - 12x²y + 48xy² - y³

C. 12x³ - 48x²y + 12xy² - y³

D. Đáp án khác

Lời giải:

(4x - y)³ = (4x)³ - 3.(4x)².y + 3.4x.y² - y³

= 64x³ - 48x²y + 12xy² - y³

Chọn A.

Câu 7. Viết biểu thức x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³ dưới dạng lập phương của một hiệu.

A. (x – 2y)³

B. (2y – x)³

C. ( 2x – 2y)³

D. (x – 4y)³

Lời giải:

Ta có :

x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

= (x)³ - 3.x².2y + 3x.(2y)² - (2y)³ = (x - 2y)³

Chọn B.

Câu 8. Viết biểu thức (2x+ 4). (4x² - 8x +16 ) dưới dạng tổng hai lập phương.

A. 8x³ + 32

B. 8x³ + 12

C. 8x³ + 64

D. 6x³ +12

Lời giải:

Ta có: (2x + 4)(4x² - 8x + 16) = (2x)³ + 4³ = 8x³ + 64

Chọn C.

Câu 9. Viết biểu thức (x - 2y)(x² + 2xy + 4y²) dưới dạng hiệu hai lập phương

A.x³ - 8y³

B. x³ - 6y³

C. 8x³ – y³

D. 2x³ – 4y³

Lời giải:

Ta có : (x - 2y)(x² + 2xy + 4y²) = (x)³ - (2y)³ = x³ - 8y³.

Chọn A.

Câu 10. Viết biểu thức sau dưới dạng hiệu của hai lập phương

Lời giải:

Ta có:

Chọn C.

Câu 11. Tính

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 12. Tính (3x + 4y). (- 3x + 4y)

A. 9x² - 16y²

B. -9x² – 16y²

C. 9x² + 16y²

D. 16y² – 9x²

Lời giải:

Ta có; (3x + 4y ). (-3x + 4y)= (4y + 3x). ( 4y – 3x)

= (4y)² - (3x)² = 16y² - 9x²

Chọn D.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết biểu thức 4x² + y² + 4xy + 4x + 2y + 1 dưới dạng một bình phương.

Bài 2. Viết biểu thức x⁴ + 2x² + 6x²y + 9y² + 6y + 1 dưới dạng một bình phương.

Bài 3. Viết biểu thức 27x³ + 8y³ + 36xy² + 54x²y dưới dạng một lập phương của đa thức.

Bài 4. Viết biểu thức –x³ + 3x²y² + y⁶ – 3xy⁴ dưới dạng một lập phương của đa thức.

Bài 5. Viết biểu thức 8(x³ − x)² + 4x⁴ – 2x² – 1  dưới dạng một lập phương của đa thức.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách rút gọn biểu thức sử dụng hằng đẳng thức cực hay
• Tính giá trị biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức cực hay
• Giải phương trình bằng cách sử dụng hằng đẳng thức cực hay
• Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lớp 8 – dựa vào hằng đẳng thức
• Chứng minh đẳng thức lớp 8 dựa vào hằng đẳng thức cực hay

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---