Bài 25 trang 169 SBT Toán 9 Tập 2

---

---

Bài 2: Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bài 25 trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi V₁, V₂, V₃ theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC , AB và AC. Chứng minh rằng: $\frac{1}{{V_1}^2}=\frac{1}{{V_2}^2}+\frac{1}{{V_3}^2}$

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h với AH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: ah = bc => h = $\frac{bc}{a}$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh huyền BC thì cạnh AB và AC vạch nên hai hình nón chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao AH và tổng chiều cao hai hình nón bằng cạnh huyền BC

Thể tích của hai hình nón là:

V₁ = $\frac{1}{3}$πAH².HB + $\frac{1}{3}$πAH².HC = $\frac{1}{3}$πAH².BC = $\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{bc}{a}\right)}^{2}a=\frac{\pi b^2{c}^2}{3a}$

=> $\frac{1}{{V_1}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{\pi b^2{c}^2}{3a}\right)}^2}=\frac{9a^2}{{\pi }^2{b}^4{c}^4}$ (1)

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB thì ta thu được hình nón có chiều cao AB = c, bán kính đáy AC = b

Thể tích hình nón: V₂ =  $\frac{1}{3}$πAC².AB = $\frac{1}{3}$πb².c

=> $\frac{1}{{V_2}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{3}\pi b^{2}c\right)}^2}=\frac{9}{{\pi }^2{b}^4{c}^2}$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC thì ta thu được hình nón có chiều cao AC = b, bán kính đáy AB = c

Thể tích hình nón là: V₃ =  $\frac{1}{3}$πAB².AC = $\frac{1}{3}$πc².b

=> $\frac{1}{{V_3}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{3}\pi c^{2}b\right)}^2}=\frac{9}{{\pi }^2{c}^4{b}^2}$

Ta có: $\frac{1}{{V_2}^2}+\frac{1}{{V_3}^2}=\frac{9}{{\pi }^2{b}^4{c}^2}+\frac{9}{{\pi }^2{c}^4{b}^2}=\frac{9\left(b^2+c^2\right)}{{\pi }^2{b}^4{c}^4}$ (2)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AB² + AC² = BC² => c² + b² = a² (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\frac{1}{{V_1}^2}=\frac{1}{{V_2}^2}+\frac{1}{{V_3}^2}$

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

• Bài 14 (trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông tại A,...

• Bài 15 (trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Cắt bỏ hình quạt ...

• Bài 16 (trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Một chiếc cốc dạng hình nón,...

• Bài 17 (trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Người ta minh họa một ...

• Bài 18 (trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Diện tích toàn phần của ...

• Bài 19 (trang 167 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Cho hình bình hành ABCD...

• Bài 20 (trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Hình 98 có một hình nón,...

• Bài 21 (trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Nếu chiều cao và bán kính...

• Bài 22 (trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Từ một hình nón, người thợ...

• Bài 23 (trang 168 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Hình 99 là một hình nón...

• Bài 24 (trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Một hình trụ có bán kính...

• Bài 25 (trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông ...

• Bài 26 (trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2): Hình 101 có một hình nón,...

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 9
• Các dạng bài tập Toán 9 chọn lọc
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi vào 10 môn Toán

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---

---

---