Bài 25 trang 169 SBT Toán 9 Tập 2

Bài 2: Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bài 25 trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi V₁, V₂, V₃ theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC , AB và AC. Chứng minh rằng: $\frac{1}{{V_{1}}^{2}} = \frac{1}{{V_{2}}^{2}} + \frac{1}{{V_{3}}^{2}}$

Quảng cáo

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Xét tam giác ABC vuông tại A

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h với AH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: ah = bc => h = $\frac{b c}{a}$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh huyền BC thì cạnh AB và AC vạch nên hai hình nón chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao AH và tổng chiều cao hai hình nón bằng cạnh huyền BC

Quảng cáo

Thể tích của hai hình nón là:

V₁ = $\frac{1}{3}$ πAH².HB + $\frac{1}{3}$ πAH².HC = $\frac{1}{3}$ πAH².BC = $\frac{1}{3} π {(\frac{b c}{a})}^{2} a = \frac{π b^{2} c^{2}}{3 a}$

=> $\frac{1}{{V_{1}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{π b^{2} c^{2}}{3 a})}^{2}} = \frac{9 a^{2}}{π^{2} b^{4} c^{4}}$ (1)

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB thì ta thu được hình nón có chiều cao AB = c, bán kính đáy AC = b

Thể tích hình nón: V₂ = $\frac{1}{3}$ πAC².AB = $\frac{1}{3}$ πb².c

=> $\frac{1}{{V_{2}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{3} π b^{2} c)}^{2}} = \frac{9}{π^{2} b^{4} c^{2}}$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC thì ta thu được hình nón có chiều cao AC = b, bán kính đáy AB = c

Thể tích hình nón là: V₃ = $\frac{1}{3}$ πAB².AC = $\frac{1}{3}$ πc².b

=> $\frac{1}{{V_{3}}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{3} π c^{2} b)}^{2}} = \frac{9}{π^{2} c^{4} b^{2}}$

Ta có: $\frac{1}{{V_{2}}^{2}} + \frac{1}{{V_{3}}^{2}} = \frac{9}{π^{2} b^{4} c^{2}} + \frac{9}{π^{2} c^{4} b^{2}} = \frac{9 (b^{2} + c^{2})}{π^{2} b^{4} c^{4}}$ (2)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AB² + AC² = BC² => c² + b² = a² (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\frac{1}{{V_{1}}^{2}} = \frac{1}{{V_{2}}^{2}} + \frac{1}{{V_{3}}^{2}}$

Quảng cáo

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):

Săn shopee siêu SALE :

Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi vào 10 Toán Văn Anh của Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh... có lời giải

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.