Phép nhân, phép chia phân thức đại số (Lý thuyết Toán lớp 8) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Phép nhân, phép chia phân thức đại số (Lý thuyết Toán lớp 8) | Cánh diều

Lý thuyết Phép nhân, phép chia phân thức đại số

1. Phép nhân các phân thức đại số

1.1. Quy tắc nhân hai phân thức đại số

Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$.

Ví dụ: $\frac{2x}{x+1}.\frac{3}{y}=\frac{2x.3}{\left(x+1\right)y}=\frac{6x}{xy+y}$ .

Chú ý: Kết quả phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích này dưới dạng rút gọn.

1.2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B};$

- Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}.\frac{C}{D}\right).\frac{M}{N}=\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}.\frac{M}{N}\right);$

- Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}+\frac{M}{N}\right)=\frac{A}{B}.\frac{C}{D}+\frac{A}{B}.\frac{M}{N}$;

- Nhân với số 1: $\frac{A}{B}.1=1.\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$.

Ví dụ:

• Giao hoán: $\frac{x}{3y}.\frac{2}{y}=\frac{2}{y}.\frac{x}{3y}$.

• Kết hợp: $\left(\frac{3x}{2y}.\frac{2}{x}\right).\frac{1}{2x}=\frac{3x}{2y}\left(\frac{2}{x}.\frac{1}{2x}\right)$.

• Phân phối vđối với phép cộng: $\frac{2}{x}\left(\frac{1}{2x}+\frac{3y}{x+1}\right)=\frac{2}{x}.\frac{1}{2x}+\frac{2}{x}.\frac{3y}{x+1}$.

• Nhân với số 1: $\frac{4}{x+2}.1=1.\frac{4}{x+2}=\frac{4}{x+2}$.

2. Phép chia các phân thức đại số

2.1. Phân thức nghịch đảo

Phân thức $\frac{B}{A}$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ với A, B là các đa thức khác 0.

Ví dụ: Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{x+1}{2y-1}$ là $\frac{2y-1}{x+1}$.

2.2. Phép chia phân thức đại số

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$.

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}$ với $\frac{C}{D}$ khác 0.

Ví dụ: $\frac{2y-1}{x+1}:\frac{4y-2}{3}=\frac{2y-1}{x+1}.\frac{3}{4y-2}$

$=\frac{2y-1}{x+1}.\frac{3}{2.\left(2y-1\right)}=\frac{3}{2x+2}$.

Bài tập Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{2x+3}{2x-4}.\frac{x-2}{4x+6}$;

b) $\frac{xy-1}{x+3}.{\left(x+3\right)}^2$;

c) $\frac{x^3-1}{x+2}.\frac{2x+4}{x^2+x+1}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2x+3}{2x-4}.\frac{x-2}{4x+6}=\frac{2x+3}{2\left(x-2\right)}.\frac{x-2}{2\left(2x+3\right)}=\frac{1}{4}$.

b) $\frac{xy-1}{x+3}.{\left(x+3\right)}^2=\left(xy-1\right)\left(x+3\right)=x^{2}y+3xy-x-3$.

c) $\frac{x^3-1}{x+2}.\frac{2x+4}{x^2+x+1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x+2}.\frac{2\left(x+2\right)}{x^2+x+1}$

$=\frac{\left(x-1\right).2}{1}=2x-2$.

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{30x{y}^2}{5x}:\frac{6y}{10x}$;

b) $\frac{4-x^2}{x^2+1}:\frac{x+2}{x^2+1}$;

c) $\frac{3x-1}{2y+5}:{\left(3x-1\right)}^2$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{30x{y}^2}{5x}:\frac{6y}{10x}=\frac{30x{y}^2}{5x}.\frac{10x}{6y}$

$=\frac{6y.5xy}{5x}.\frac{5x.2}{6y}$$=\frac{6y.5xy.5x.2}{5x.6y}=10xy$.

b) $\frac{4-x^2}{x^2+1}:\frac{x+2}{x^2+1}$

$=\frac{4-x^2}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}=\frac{-\left(x^2-4\right)}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}$

$=\frac{-\left(x-2\right).\left(x+2\right)}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}=-x+2$.

c) $\frac{3x-1}{2y+5}:{\left(3x-1\right)}^2=\frac{3x-1}{2y+5}.\frac{1}{{\left(3x-1\right)}^2}$

$=\frac{1}{\left(2y+5\right)\left(3x-1\right)}$.

Bài 3. Tính một cách hợp lí:

 $\frac{x^2-36}{x^2+3}.\left(\frac{x^2+3}{x-6}-\frac{x^2+3}{x+6}\right)$.

Hướng dẫn giải

$\frac{x^2-36}{x^2+3}.\left(\frac{x^2+3}{x-6}-\frac{x^2+3}{x+6}\right)$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\left[\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}-\frac{\left(x^2+3\right)\left(x-6\right)}{\left(x+6\right)\left(x-6\right)}\right]$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6\right)-\left(x^2+3\right)\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6-x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right).12}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}=12$.

Học tốt Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Các bài học để học tốt Phép nhân, phép chia phân thức đại số Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

• Giải sbt Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 2

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Hàm số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Mặt phẳng tọa độ. Đồ thị của hàm số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---