Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 2 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 2: Phân thức đại số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 2 Cánh diều

Quảng cáo

Lý thuyết Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 2

1. Khái niệm về phân thức đại số

1.1. Định nghĩa

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng PQ, trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.

P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức.

1.2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức AB và CD được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C, viết là AB=CD.

2. Tính chất cơ bản của phân thức

2.1. Tính chất cơ bản

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

PQ=P.MQ.M  với M là một đa thức khác đa thức 0.

Quảng cáo

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

 PQ=P:NQ:N với N là một nhân tử chung của P và Q.

2.2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của của chúng để được phân thức mới (đơn giản hơn) thì cách làm đó được gọi là rút gọn phân thức.

Nhận xét: Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Khi biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới bằng chúng và có cùng mẫu thức thì cách biến đổi đó được gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Nhận xét:

+ Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Quảng cáo

+ Muốn quy đồng mẫu thức thành nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm MTC.

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu).

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức 14x+6;34x6;24x29.

Hướng dẫn giải

Ta có: 4x + 6 = 2(2x + 3);

4x – 6 = 2(2x – 3);

4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3).

Chọn MTC là: 2(2x + 3)(2x – 3)

Vậy    14x+6=122x+3=2x322x32x+3;

          34x6=322x3=32x+322x32x+3;

          24x29=22x+32x+3=422x32x+3.

Quảng cáo

2.3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

- Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điểu kiện xác định của phân thức.

- Cho phân thức PQ. Giá trị của biểu thức PQ tại những giá trị cho trước của các biến sao cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức PQ tại những giá trị cho trước của các biến đó.

Nhận xét:

Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.

3. Phép cộng các phân thức đại số

3.1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

AM+BM=A+BM.

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.

3.2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3.3. Tính chất của phép cộng phân thức

Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất sau: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

4. Phép trừ các phân thức đại số

4.1. Quy tắc trừ hai phân thức

- Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ tử của hân thức bị trù cho tử của phân thức trừ và giữ nguyên mẫu:

AMBM=ABM.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Chú ý: Kết quả của phép trừ hai phân thức được gọi là hiệu. Ta thường viết hiệu này dưới dạng rút gọn.

4.2. Phân thức đối

- Phân thức đối của phân thức AB kí hiệu là -AB. Ta có AB+AB=0.

- Ta có: AB=AB=AB.

- Phân thức đối của phân -AB AB, tức là AB=AB.

- Muốn trừ phân thức AB cho phân thức CD, ta có thể cộng AB với phân thức đối của phân thức CD, tức là ABCD=AB+CD.

5. Phép nhân các phân thức đại số

5.1. Quy tắc nhân hai phân thức đại số

Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

AB  .  CD=A  .  CB  .  D.

Chú ý: Kết quả phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích này dưới dạng rút gọn.

5.2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: AB.CD=CD.AB;

- Kết hợp: AB.CD.MN=AB.CD.MN;

- Phân phối đối với phép cộng: AB.CD+MN=AB.CD+AB.MN;

- Nhân với số 1: AB.1=1.AB=AB.

6. Phép chia các phân thức đại số

6.1. Phân thức nghịch đảo

Phân thức BA được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức AB với A, B là các đa thức khác 0.

6.2. Phép chia phân thức đại số

Muốn chia phân thức AB cho phân thức CD khác 0, ta nhân AB với phân thức nghịch đảo của CD.

AB.CD=AB.DC với CD khác 0.

Bài tập Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 2

Bài 1. Rút gọn phân thức sau:

a) 36xy216x2y3;

b) 6x3y4x2y.

Hướng dẫn giải

a) 36xy216x2y3=9.4xy214xy.4xy2=94xy;

b) 6x3y4x2y2=32xy2xy2x+y=32x+y.

Bài 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) 3x+2y và 1x2y;                         

b) 2x+4 và 2x216.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MTC là: (x + 2y)(x – 2y) .

3x+2y=3.x2yx+2yx2y=3x6yx24y2

1x2y=3x+2y=1.x+2yx2yx+2y=x+2yx24y2

b) Ta có: x2 – 16 = (x – 4)(x + 4) .

Chọn MTC là (x – 4)(x + 4).

2x+4=2x4x+4x4=2x8x216; 2x216.

Bài 3. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) 2x5x+5;

b) 7xy2+4;   

c) x1x+1;                

d) x+yxy.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức 2x5x+5 là 5x + 5 ≠ 0 hay 5x ≠ −5 hay x ≠ −1 .

b) Điều kiện xác định của phân thức 7xy2+4 là: y2 + 4 ≠  0 (luôn đúng vì y2 + 4 > 0 với mọi y).

c) Điều kiện xác định của phân thức x1x+1 là: x + 1 ≠ 0 hay x  ≠ −1.

d) Điều kiện xác định của phân thức x+yxy là x – y ≠ 0 hay x ≠ y.

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) 3x+22+2x12;

b) 3x2yxy+x+2yyx;

c) 2x+1x24+x1x2.

Hướng dẫn giải

a) 3x+22+2x12=3x+2+2x12

=3x+2+2x12=5x+12.

b) 3x2yxy+x+2yyx=3x2yxy+x+2yxy

=3x2yx2yxy=2x4yxy.

c) 2x+1x24+x1x2

=2x+1x2x+2+x1x+2x2x+2

=2x+1x2x+2+x2+2xx2x2x+2

=2x1+x2+2xx2x2x+2

=x2+3x3x2x+2.

Bài 5. Thực hiện phép tính:

a) 1x21x+1;

b) 12x292x3;

c) 1x5x225x1525x21.

Hướng dẫn giải

a) 1x21x+1=1x+1x2x+11x2x+1x2

=x+1x+2x+1x2=3x+1x2.

b) 12x292x3

=12x3x+32x+3x3x+3

=122x6x3x+3=2x+6x3x+3

=2x3x3x+3=2x+3.

c) 1x5x225x1525x21

=1x15x25x1515x1+5x

=11+5xx15x1+5x+25x15xx15x1+5x

=1+5x+25x15x15x1+5x=30x14x15x1+5x.

Bài 6. Sử dụng quy tắc đổi dấu thực hiện phép tính sau theo cách hợp lý:

4x23x+17x31+2x1x2+x+1+61x

Hướng dẫn giải

4x23x+17x31+2x1x2+x+1+61x

=4x23x+17x1x2+x+1+2x1x2+x+16x1

=4x23x+17x1x2+x+1+2x1x1x2+x+1x16x2+x+1x1x2+x+1

=4x23x+17+2x22xx+16x26x6x1x2+x+1

=12x+12x1x2+x+1=12x1x1x2+x+1

=12x2+x+1.

Bài 7. Thực hiện phép tính:

a) 2x+32x4.x24x+6;

b) xy1x+3.x+32;

c) x31x+2.2x+4x2+x+1.

Hướng dẫn giải

a) 2x+32x4.x24x+6=2x+32x2.x222x+3=14.

b) xy1x+3.x+32=xy1x+3=x2y+3xyx3.

c) x31x+2.2x+4x2+x+1=x1x2+x+1x+2.2x+2x2+x+1

=x1.21=2x2.

Bài 8. Thực hiện phép tính:

a) 30xy25x:6y10x;

b) 4x2x2+1:x+2x2+1;

c) 3x12y+5:3x12.

Hướng dẫn giải

a) 30xy25x:6y10x=30xy25x.10x6y

=6y.5xy5x.5x.26y=6y.5xy.5x.25x.6y=10xy.

b) 4x2x2+1:x+2x2+1

=4x2x2+1.x2+1x+2=x24x2+1.x2+1x+2

=x2.x+2x2+1.x2+1x+2=x+2.

c) 3x12y+5:3x12=3x12y+5.13x12

=12y+53x1.

Bài 9. Tính một cách hợp lí:

x236x2+3.x2+3x6x2+3x+6.

Hướng dẫn giải

x236x2+3.x2+3x6x2+3x+6

=x6x+6x2+3.x2+3x+6x6x+6x2+3x6x+6x6

=x6x+6x2+3.x2+3x+6x2+3x6x6x+6

=x6x+6x2+3.x2+3x+6x+6x6x+6

=x6x+6x2+3.x2+3.12x6x+6=12.

Học tốt Toán 8 Chương 2

Các bài học để học tốt tổng hợp Toán 8 Chương 2 Toán lớp 8 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay nhất, chi tiết của chúng tôi được biên soạn bám sát sgk Toán 8 Cánh diều (Tập 1 & Tập 2) (NXB ĐH Sư phạm).

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác
Tài liệu giáo viên