Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức biến đổi tổng thành tích.

Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Công thức biến đổi tổng thành tích

• cos u + cos v = 2cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

• cos u – cos v = –2sin $\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$

• sin u + sin v = 2 sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

• sin u – sin v = 2 cos$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$

2. Ví dụ minh họa về công thức biến đổi tổng thành tích

Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) A = $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$.

b) B = sina + sin3a.

c) C = sina – cos2a.

Hướng dẫn giải

a) A = $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$

$=2\cos \frac{x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3}}{2}\cos \frac{x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}}{2}$

$=2\cos x.\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{1}{2}\cos x=\cos x$

b) B = sina + sin3a

= 2sin$\frac{a+3a}{2}$cos$\frac{a-3a}{2}$

= 2sin2a.cosa

= 4sina.cos²a.

c) C = sina – cos2a = sina – $\sin \left(\frac{\pi }{2}-2a\right)$

= 2cos$\frac{a+\frac{\pi }{2}-2a}{2}$.sin$\frac{a-\frac{\pi }{2}+2a}{2}$

= 2cos$\frac{-2a+\pi }{4}$sin$\frac{6a-\pi }{4}$

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = cos(–15^o) + cos285^o.

b) B = $\frac{\sin {20}^o+\sin {40}^o}{\cos {20}^o+\cos {40}^o}$.

Hướng dẫn giải

a) A = cos (–15^o) + cos285^o

= 2cos$\frac{{285}^o-{15}^o}{2}$cos$\frac{-{285}^o-{15}^o}{2}$

= 2cos135^o.cos(–150^o)

= $2\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

b) B = $\frac{\sin {20}^o+\sin {40}^o}{\cos {20}^o+\cos {40}^o}$

$=\frac{2\sin \frac{{20}^o+{40}^o}{2}\cos \frac{{20}^o-{40}^o}{2}}{2\cos \frac{{20}^o+{40}^o}{2}\cos \frac{{20}^o-{40}^o}{2}}$

$=\frac{2\sin {30}^o\cos {10}^o}{2\cos {30}^o\cos {10}^o}$

=tan${30}^o$=$=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 3. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ꞷt + φ), trong đó t là thời điểm tính bằng giây, x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–$\pi$; $\pi$] là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

x₁(t) = 2 cos$\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{2}\right)$(cm) và x₂(t) = 2 cos$\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)$ (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Hướng dẫn giải

x(t) = x₁(t) + x₂(t)

= 2 cos$\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{2}\right)$ + 2 cos$\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)$

$=2\left(\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)\right)$

= 4cos$\frac{\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}}{2}$cos $\frac{\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{6}}{2}$

= 4cos$\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{3}\right)$cos$\frac{\pi }{6}$

= 2$\sqrt{3}$cos$\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy dao động tổng hợp x(t) = 2$\sqrt{3}$cos$\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{3}\right)$, với biên độ A = 2$\sqrt{3}$ (cm) và pha ban đầu là φ = $\frac{\pi }{3}$.

3. Bài tập về công thức biến đổi tổng thành tích

Bài 1. Tính giá trị biểu thức:

a) A = sin75^o – cos75^o.

b) B = cos75^o + sin285^o.

c) $C=\frac{\sin {20}^o+\sin {100}^o}{\cos {20}^o+\cos {100}^o}$.

Bài 2. Nối số ở cột A với chữ ở cột B để được đáp án đúng:

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{\sin 12x+\sin 14x+\sin 16x}{\cos 12x+\cos 14x+\cos 16x}$.

b) B = $\frac{2\sin \left(\pi -a-b\right)}{\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)}-\frac{1}{\cot b}$.

Bài 4. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) A = sin3x + cos$\left(\frac{\pi }{2}–2x\right)$ – 4sinxcos²x.

b) B = $\frac{\sin 2x+\sin 4x+\cos x}{2\sin 3x+1}-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

Bài 5. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ꞷt + φ), trong đó t là thời điểm tính bằng giây, x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–$\pi$; $\pi$] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình: x₁(t) = 3cos$\left(\frac{\pi }{6}t+\frac{2\pi }{3}\right)$ (cm), x₂(t) và dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) = 3cos$\left(\frac{\pi }{6}t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm).

Tìm phương trình dao động điều hòa của x₂(t). Chỉ ra biên độ dao động và pha ban đầu của x₂(t).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các công thức biến đổi tích thành tổng

• Hàm số lượng giác là gì

• Đồ thị và tính chất hàm sin

• Đồ thị và tính chất hàm cos

• Đồ thị và tính chất hàm tan

• Đồ thị và tính chất hàm cot

---