Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức biến đổi tổng thành tích.

Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 (chi tiết nhất)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTT Xem Khóa học Toán 11 CD Xem Khóa học Toán 11 CTST

Quảng cáo

1. Công thức biến đổi tổng thành tích

• cos u + cos v = 2cos $\frac{u + v}{2}$ cos $\frac{u - v}{2}$

• cos u – cos v = –2sin $\frac{u + v}{2}$ sin $\frac{u - v}{2}$

• sin u + sin v = 2 sin $\frac{u + v}{2}$ cos $\frac{u - v}{2}$

• sin u – sin v = 2 cos $\frac{u + v}{2}$ sin $\frac{u - v}{2}$

2. Ví dụ minh họa về công thức biến đổi tổng thành tích

Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) A = $\cos (x + \frac{π}{3}) + \cos (x - \frac{π}{3})$ .

b) B = sina + sin3a.

c) C = sina – cos2a.

Hướng dẫn giải

a) A = $\cos (x + \frac{π}{3}) + \cos (x - \frac{π}{3})$

$= 2 \cos \frac{x + \frac{π}{3} + x - \frac{π}{3}}{2} \cos \frac{x + \frac{π}{3} - x + \frac{π}{3}}{2}$

$= 2 \cos x . \cos \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos x = \cos x$

Quảng cáo

b) B = sina + sin3a

= 2sin $\frac{a + 3 a}{2}$ cos $\frac{a - 3 a}{2}$

= 2sin2a.cosa

= 4sina.cos²a.

c) C = sina – cos2a = sina – $\sin (\frac{π}{2} - 2 a)$

= 2cos $\frac{a + \frac{π}{2} - 2 a}{2}$ .sin $\frac{a - \frac{π}{2} + 2 a}{2}$

= 2cos $\frac{- 2 a + π}{4}$ sin $\frac{6 a - π}{4}$

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = cos(–15^o) + cos285^o.

b) B = $\frac{\sin 20^{o} + \sin 40^{o}}{\cos 20^{o} + \cos 40^{o}}$ .

Hướng dẫn giải

a) A = cos (–15^o) + cos285^o

= 2cos $\frac{285^{o} - 15^{o}}{2}$ cos $\frac{- 285^{o} - 15^{o}}{2}$

= 2cos135^o.cos(–150^o)

= $2 \cdot \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Quảng cáo

b) B = $\frac{\sin 20^{o} + \sin 40^{o}}{\cos 20^{o} + \cos 40^{o}}$

$= \frac{2 \sin \frac{20^{o} + 40^{o}}{2} \cos \frac{20^{o} - 40^{o}}{2}}{2 \cos \frac{20^{o} + 40^{o}}{2} \cos \frac{20^{o} - 40^{o}}{2}}$

$= \frac{2 \sin 30^{o} \cos 10^{o}}{2 \cos 30^{o} \cos 10^{o}}$

=tan $30^{o}$ = $= \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 3. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ꞷt + φ), trong đó t là thời điểm tính bằng giây, x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [– $π$ ; $π$ ] là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

x₁(t) = 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{2})$ (cm) và x₂(t) = 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$ (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

x(t) = x₁(t) + x₂(t)

= 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{2})$ + 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$

$= 2 (\cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}))$

= 4cos $\frac{\frac{π}{3} t + \frac{π}{2} + \frac{π}{3} t + \frac{π}{6}}{2}$ cos $\frac{\frac{π}{3} t + \frac{π}{2} - \frac{π}{3} t - \frac{π}{6}}{2}$

= 4cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{3})$ cos $\frac{π}{6}$

= 2 $\sqrt{3}$ cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{3})$

Vậy dao động tổng hợp x(t) = 2 $\sqrt{3}$ cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{3})$ , với biên độ A = 2 $\sqrt{3}$ (cm) và pha ban đầu là φ = $\frac{π}{3}$ .

3. Bài tập về công thức biến đổi tổng thành tích

Bài 1. Tính giá trị biểu thức:

a) A = sin75^o – cos75^o.

b) B = cos75^o + sin285^o.

c) $C = \frac{\sin 20^{o} + \sin 100^{o}}{\cos 20^{o} + \cos 100^{o}}$ .

Bài 2. Nối số ở cột A với chữ ở cột B để được đáp án đúng:

Cột A	Cột B
1. sin $(x - \frac{π}{4})$ + sin $(x + \frac{π}{4})$	a. 2sin3x.cosx
2. cos $(\frac{π}{2} - 2 x)$ + sin4x	b. 2cos3x.cosx
3. cos4x + cos2x	c. $\sqrt{2}$ sinx

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{\sin 12 x + \sin 14 x + \sin 16 x}{\cos 12 x + \cos 14 x + \cos 16 x}$ .

b) B = $\frac{2 \sin (π - a - b)}{\cos (a + b) + \cos (a - b)} - \frac{1}{\cot b}$ .

Bài 4. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) A = sin3x + cos $(\frac{π}{2} - 2 x)$ – 4sinxcos²x.

b) B = $\frac{\sin 2 x + \sin 4 x + \cos x}{2 \sin 3 x + 1} - \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Bài 5. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ꞷt + φ), trong đó t là thời điểm tính bằng giây, x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [– $π$ ; $π$ ] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình: x₁(t) = 3cos $(\frac{π}{6} t + \frac{2 π}{3})$ (cm), x₂(t) và dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) = 3cos $(\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ (cm).