Giới hạn bằng 0 của dãy số là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Giới hạn bằng 0 của dãy số là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết giới hạn của dãy số là 0.

Giới hạn bằng 0 của dãy số là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Nhận biết giới hạn của dãy số là 0

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ hay u_n → 0 khi n → $+\infty$ hay lim u_n = 0.

Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$ với k là một số nguyên dương;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ nếu |q| < 1;

Nếu |u_n| ≤ v_n với mọi n ≥ 1 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

2. Ví dụ minh họa về Giới hạn bằng 0 của dãy số

Ví dụ 1. Điền vào … để được câu đúng:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=\mathrm{...}$ với k là một số nguyên dương.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ nếu …

c) Nếu |u_n| ≤ v_n với mọi n ≥ 1 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathrm{...}$

Hướng dẫn giải

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=$0 với k là một số nguyên dương.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ nếu |q| < 1.

c) Nếu |u_n| ≤ v_n với mọi n ≥ 1 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=$0.

Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng dãy số $u_n=\frac{1}{n^3}$ có giới hạn là 0.

Hướng dẫn giải

Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì $\left(u_n\right)=\frac{1}{n^3}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn. Chẳng hạn, để $\left(u_n\right)$ < 0,000001 tức là $\frac{1}{n^3}<{10}^{-6}$, ta cần n³ > 10⁶ hay n > 100. Như vậy, các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,000001.

Ví dụ 3. Áp dụng các giới hạn cơ bản, tính:

a) $\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{6}\right)}^n}$.

b) lim(–0,5)ⁿ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{1}{{\left(\sqrt{6}\right)}^n}={\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)}^n$. Vì $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)<1$ nên $\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{6}\right)}^n}=\lim {\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)}^n=0$.

b) Vì |–0,5| < 1 nên lim(–0,5) ⁿ = 0.

3. Bài tập về Giới hạn bằng 0 của dãy số

Bài 1. Với dãy số $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{5^n}$, sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim u_n = 0.

Bài 2. Áp dụng các giới hạn cơ bản, tính:

a) $\lim {\left(\frac{-6}{11}\right)}^n$.

b) $\lim {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$

c) $\lim {\left(1-\sqrt{2}\right)}^n$.

d) $\lim {\left(-0,75\right)}^n$.

Bài 3. Chứng minh rằng dãy số: $u_n=2\left(\sqrt{4n^2+1}-2n\right)$ có giới hạn bằng 0.

Bài 4. Chứng minh rằng dãy số $u_n=\frac{\sin n}{n^2}$ có giới hạn bằng 0.

Bài 5. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 6 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn bằng 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tính chất của phép chiếu song song

• Hình biểu diễn một hình trong không gian là gì

• Giới hạn hữu hạn của dãy số là gì

• Quy tắc tính giới hạn

• Giới hạn vô cực của dãy số là gì

• Giới hạn tại một điểm là gì

---