Phương trình cosx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình cosx = m lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình cosx = m.

Phương trình cosx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

1. Phương trình cosx = m

Xét phương trình cosx = m.

+ Nếu |m| > 1 thì phương trình phương trình.

+ Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ và x = –α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$,

với α là góc thuộc [0; p] sao cho cosα = m.

* Một số trường hợp đặc biệt:

+ cosx = 1 $\iff$ $x=k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ cosx = –1 $\iff$ $x=\pi +k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ cosx = 0 $\iff$ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Nhận xét:

+ cosu = cosv $\iff$ u = v + $k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc u = –v + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ cosx = cosa^o $\iff$ x = a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc x = –a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình cosx = m

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) cosx = cos15^o.

b) cosx = cos$\frac{3\pi }{5}$.

c) cos6x = cos2x.

Hướng dẫn giải

a) cosx = cos15^o .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 15^o + k360^o; x = –15^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cosx = cos$\frac{3\pi }{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{3\pi }{5}+k2\pi$; x = $-\frac{3\pi }{5}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) cos6x = cos2x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) 2cos3x – $\sqrt{3}$ = 0.

b) 4cos4x = 3.

c) cos5x + 10 = 0.

d) cos5x + cos(–3x) = 0.

Hướng dẫn giải

a) 2cos3x – $\sqrt{3}$ = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{6}+k2\pi$; x = $\frac{-\pi }{6}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) 4cos4x = 3 $\iff$ cos4x $=\frac{3}{4}$

Gọi α ∈ [0; $\pi$] sao cho cosα $=\frac{3}{4}$. Khi đó ta có:

cos4x $=\frac{3}{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\alpha +k2\pi$; x = $-\alpha +k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) cos5x + 10 = 0 $\iff$ cos5x = –10.

Vì –10 < –1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

d) cos5x + cos(–3x) = 0 $\iff$ 2cosx.cos4x = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{2}+k\pi$; x =$\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) cos6x – sin2x = 0.

b) cos²xsinx – sin²xcosx = 0.

Hướng dẫn giải

a) cos6x – sin2x = 0 $\iff$ cos6x = sin2x $\iff$ cos6x = cos$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$; x = $\frac{-\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cos²xsinx – sin²xcosx = 0 $\iff$ sinxcosx(sinx – cosx) = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{k\pi }{2}$; x = $\frac{\pi }{4}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

3. Bài tập về phương trình cosx = m

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) cosx = cos128^o.

b) cosx = cos$\frac{\pi }{9}$.

c) cos(x + 3) = cos2x.

Bài 2. Giải các phương trình:

a) 2cosx + $\sqrt{3}$ = 0.

b) cosx – $\frac{14}{15}$= 0.

c) 3cos10x + 10 = 0.

d) cos3x + cos(–11x) = 0.

Bài 3. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) 4cos³x – 3cos²x = 0.

b) 2sin$\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ + sin²x = 0.

Bài 4. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau sao cho:

a) 2cos$\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$ = $\sqrt{3}$ và x ∈ [$\pi$; 4$\pi$].

b) sin$\left({90}^o-3x\right)$ = cos6x và x ∈ (45^o; 360^o).

Bài 5. Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình x = 4cos$\left(3t-\frac{\pi }{3}\right)$. Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng từ 0 đến 8 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình sinx = m

• Phương trình tanx = m

• Phương trình cotx = m

• Dãy số vô hạn là gì

• Dãy số hữu hạn là gì

• Cách cho một dãy số

---