Phương trình cotx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình cotx = m lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình cotx = m.

Phương trình cotx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

1. Phương trình cotx = m

Phương trình cotx = m có nghiệm với mọi m.

Với mọi m $\in ℝ$, tồn tại duy nhất α ∈ (0; $\pi$) thỏa mãn cotα = m. Khi đó

cotx = m $\iff$ cotx = cotα $\iff$ x = α + k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì:

cotx = cotα^o $\iff$ x = α^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình cotx = m

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) cotx = cot55^o.

b) cot2x = cot$\left(x-\frac{4\pi }{5}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) cotx = cot55^o $\iff$ x = 55^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 55^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cot2x = cot$\left(x-\frac{4\pi }{5}\right)$$\iff$ 2x = x – $\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$ , x = –$\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = –$\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) cot3x + 1= 0.

b) cot4x + 2 = 0.

c) cot²x – $\sqrt{3}$cotx = 0.

Hướng dẫn giải

a) cot3x + 1= 0 $\iff$ cot3x = –1 $\iff$ cot3x = tan$\frac{-\pi }{4}$$\iff$ 3x $=\frac{-\pi }{4}+k\pi$

$\iff$ x $=\frac{-\pi }{12}+k\pi$; k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x $=\frac{-\pi }{12}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cot4x + 2 = 0 $\iff$ cot4x = –2

Gọi α ∈ (0; $\pi$) sao cho cotα = –2. Khi đó ta có:

cot4x = –2 $\iff$ cot4x = cotα $\iff$ 4x = α + k$\pi$$\iff$ x = $\frac{\alpha }{4}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\alpha }{4}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) cot²x – $\sqrt{3}$cotx = 0 $\iff$ cotx $\left(\cot x-\sqrt{3}\right)=0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x $=\frac{\pi }{6}+k\pi$, x = $\frac{\pi }{2}$ + k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 3.

Có bao nhiêu nghiệm của phương trình cot$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$= cot$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ thuộc ($\pi$;4$\pi$).

Hướng dẫn giải

cot$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$= cot$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ $\iff$ 2x – $\frac{\pi }{6}$= x – $\frac{\pi }{3}$ + k$\pi$$\iff$ x $=\frac{-\pi }{6}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$

Vì x ∈ ($\pi$; 4$\pi$) nên $\pi$ < $=\frac{-\pi }{6}+k\pi$ < 4$\pi$. Do đó: $\frac{7}{6}$ < k < $\frac{25}{6}$.

Mà k ∈ $\mathbb{Z}$ nên k ∈ {2; 3; 4}. Do đó, x $=\frac{11\pi }{6}$; x = $\frac{17\pi }{6}$; x = $\frac{23\pi }{6}$.

Vậy với x $=\frac{11\pi }{6}$; x = $\frac{17\pi }{6}$; x = $\frac{23\pi }{6}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài tập về phương trình cotx = m

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) cot2x = cot60^o.

b) cot$\left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ = cot$\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Bài 2. Giải các phương trình:

a) cot5x = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

b) 2cot4x + 6 = 0.

c) 2cot²x + $\sqrt{3}$cotx = 0.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) tan$\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ – cot$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$= 0

b) $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ – 3cot²x = 0.

Bài 4. Có bao nhiêu nghiệm của các phương trình sau thuộc khoảng (–2$\pi$; $\pi$)?

a) $\frac{1}{\sqrt{3}}$cot$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ = –1.

b) cot$\left(x-\frac{\pi }{5}\right)$– cot$\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ = 0.

Bài 5. Giải phương trình sau:

a) $\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-\cot x=2$.

b) tan²x + $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ = 1.

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình tanx = m

• Dãy số vô hạn là gì

• Dãy số hữu hạn là gì

• Cách cho một dãy số

• Cấp số cộng là gì

• Cấp số nhân là gì

---