Phương trình sinx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình sinx = m lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình sinx = m.

Phương trình sinx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

1. Phương trình sinx = m

• Xét phương trình sinx = m.

+ Nếu |m| > 1 thì phương trình sinx = m vô nghiệm.

+ Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ và x = $\pi$ – α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$,

với α là góc thuộc sao cho sinα = m.

* Một số trường hợp đặc biệt:

+ sinx = 1 $\iff$ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ sinx = –1 $\iff$ $x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ sinx = 0 $\iff$ $x=k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Nhận xét:

+ sinu = sinv $\iff$ u = v + $k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc u = $\pi$ – v + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ sinx = sina^o $\iff$ x = a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc x = 180^o – a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình sinx = m

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) sinx = sin 50^o.

b) sinx = sin$\frac{\pi }{16}$.

c) sin2x = sinx.

Hướng dẫn giải

a) sinx = sin 50^o

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 50^o + k360^o; x = 130^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

d) sinx = sin$\frac{\pi }{16}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{16}+k2\pi$; x = $\frac{15\pi }{16}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) sin2x = sinx

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $k2\pi$; x = $\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) –sinx + $\frac{1}{2}$ = 0.

b) sinx = $\frac{1}{5}$.

c) sin7x + 3 = 0.

d) cos5x – cos(–3x) = 0.

Hướng dẫn giải

a) –sinx + $\frac{1}{2}$ = 0 $\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{6}+k2\pi$; x = $\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) Gọi α ∈ sao cho sinα =$\frac{1}{5}$. Khi đó ta có:

sinx = $\frac{1}{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\alpha +k2\pi$; x = $\pi -\alpha +k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) sin7x + 3 = 0 $\iff$ sin7x = –3. Vì –3 < –1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

d) cos5x – cos(–3x) = 0 $\iff$ –2sinx.sin4x = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) sin2x – cos4x = 0.

b) cos²x – sin²x = 0.

Hướng dẫn giải

a) sin2x – cos4x = 0 $\iff$ sin2x – 1 + 2sin²2x = 0 $\iff$ (sinx + 1)(2sinx – 1) = 0

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{-\pi }{2}+k2\pi$; x = $\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, x = $\frac{\pi }{6}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$

b) cos²x – sin²x = 0 $\iff$ cos2x = 0 $\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$ = 0

$\iff \frac{\pi }{2}-2x=k\pi \iff x=\frac{-\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vì nên ta có thể viết:

cos²x – sin²x = 0 $\iff x=\frac{-\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{-\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

3. Bài tập về phương trình sinx = m

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) sinx = sin106^o.

b) sinx = sin$\frac{3\pi }{19}$.

c) sin(2x + 1) = sinx.

Bài 2. Tìm góc lượng giác x sao cho:

a) $\sqrt{2}$sinx + 1 = 0.

b) sinx = $\frac{7}{15}$.

c) sin7x + 8 = 0.

d) cos4x – cos(–6x) = 0.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) cos²x – 2sinx – 1 = 0.

b) cos$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ – sinx = 0.

Bài 4. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng $\left(-{90}^o;{270}^o\right)$?

a) 2sin$\left(x-{90}^o\right)$= –1.

b) sin$\left(x-{25}^o\right)$ = cos60^o.

Bài 5. Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động bởi công thức h(t) = 45 + 30sin$\left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 60 lần đầu tiên?

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hai phương trình tương đương là gì

• Phương trình cosx = m

• Phương trình tanx = m

• Phương trình cotx = m

• Dãy số vô hạn là gì

• Dãy số hữu hạn là gì

---