(Ôn thi Toán vào 10) Chuyên đề Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Chuyên đề Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Chuyên đề Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

- Bộ đề thi Toán vào 10 năm 2025 có đầy đủ lời giải chi tiết:

Xem thử Bộ đề thi thử vào 10 Toán 2025 Xem thử Bộ đề thi vào 10 Toán 2025 Xem thử Chuyên đề Toán ôn vào 10

- Bộ đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng gồm 8 đề thi CHÍNH THỨC từ năm 2015 → 2024 có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu ôn thi Toán vào 10 Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng:

Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

• (Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

  Xem chi tiết

• (Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa biến

  Xem chi tiết

• (Ôn thi Toán vào 10) So sánh biểu thức A với k (k là số hoặc biểu thức)

  Xem chi tiết

• (Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

  Xem chi tiết

• (Ôn thi Toán vào 10) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  Xem chi tiết

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán thực tế ứng dụng căn bậc hai, căn bậc ba

  Xem chi tiết

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Rút gọn biểu thức

  Xem chi tiết

(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Các hằng đẳng thức

Các hằng đẳng thức đã học:

• a² + 2ab + b² = (a + b)²;

• a² - 2ab + b² = (a - b)²

• (a - b)(a + b) = a² - b²

• ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ = $\left(a^3+b^3\right)+3ab\left(a+b\right)$

• ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ = $\left(a^3-b^3\right)-3ab\left(a-b\right)$

• $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\left\{\begin{array}{l}A\text{ \hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}A\ge 0\\ -A\text{ \hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}}A<0\end{array}\right.$

2. So sánh hai căn

Với A > B ≥ 0 thì ta có $\sqrt{A}>\sqrt{B}$.

3. Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

• Khai phương của một tích: $\sqrt{A.B}=\left|A\right|\cdot \sqrt{B}\left(A\ge \mathrm{0,}B\ge 0\right)$. Đặc biệt ${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$.

• Khai phương của một thương: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\left(A\ge \mathrm{0,}B>0\right)$.

4. Đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn

Với A, B, C ta có:

5. Trục căn thức ở mẫu

Với A, B, C là các biểu thức và các biểu thức có nghĩa

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Biểu thức chứa căn bậc hai A = $\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}$ (c ≥ 0).

Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng bình phương. $a\pm 2b\sqrt{c}={\left(m\pm n\sqrt{c}\right)}^2$ suy ra $\sqrt{a\pm 2b\sqrt{c}}=\left|m\pm n\sqrt{c}\right|$.

Ví dụ 1. Rút gọn M = $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $4+2\sqrt{3}=1^2+2\cdot 1\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2$.

Do đó $\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}=\left|\sqrt{3}+1\right|=\sqrt{3}+1$.

Vậy M = $\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1$.

Ví dụ 2. Rút gọn N = $\sqrt{21-12\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $21-12\sqrt{3}$ = $3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$ = ${\left(3-2\sqrt{3}\right)}^2$.

Do đó $\sqrt{{\left(3-2\sqrt{3}\right)}^2}=\left|3-2\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}-3$.

Vậy N = $\sqrt{21-12\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3$.

Biểu thức có dạng A = $\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}\mathbf{\pm }\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}$ (b lẻ)

Ví dụ 3. Rút gọn E = $\sqrt{7+3\sqrt{5}}\pm \sqrt{7-3\sqrt{5}}$.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Nhân hai vế với $\sqrt{2}$ và đưa về Dạng 1.

Ta có $E\sqrt{2}$ = $\sqrt{14+2\cdot 3\sqrt{5}}+\sqrt{14-2\cdot 3\sqrt{5}}$

                  = $\sqrt{3^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{5}+{\left(5\right)}^2}+\sqrt{3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{5}+{\left(5\right)}^2}$

                  = $\sqrt{{\left(3+\sqrt{5}\right)}^2}+\sqrt{{\left(3-\sqrt{5}\right)}^2}$

                  = $\left|3+\sqrt{5}\right|+\left|3-\sqrt{5}\right|$

                  = $3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}$ = 6.

Khi đó $E\sqrt{2}$ = 6 nên E = $3\sqrt{2}$.

Cách 2: Bình phương hai vế và rút gọn.

Ta có A² = $7+3\sqrt{5}+2\sqrt{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(7-3\sqrt{5}\right)}+7-3\sqrt{5}$.

Vì A > 0 nên A = $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Dạng 2. Biểu thức chứa căn bậc b, dạng A = $\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}\mathbf{\pm }\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\sqrt{\mathbf{c}}}$

Phương pháp 1. Vận dụng hằng đẳng thức bậc 3 để đưa $a+b\sqrt{c}$ và $a-b\sqrt{c}$ về luỹ thừa bậc 3. Khi đó A = $\sqrt[3]{{\left(m+n\sqrt{c}\right)}^3}\pm \sqrt[3]{{\left(m-n\sqrt{c}\right)}^3}$ = $\left(m+n\sqrt{c}\right)\pm \left(m-n\sqrt{c}\right)$.

Ví dụ 5. Rút gọn A = $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^3=2\sqrt{2}-1-3.\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=5\sqrt{2}-7$.

Do đó A = $\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^3}-\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^3}$ = $\left(\sqrt{2}-1\right)-\left(\sqrt{2}+1\right)$ = -2.

⮚ Chú ý: Để kiểm tra $a+b\sqrt{c}={\left(m+n\sqrt{c}\right)}^3$ đúng hay chưa, ta có thể thử chiều ngược lại, thông thường nên thử với n = 1.

Phương pháp 2. Mũ ba hai vế và đưa về giải phương trình bậc ba

Vẫn với ví dụ trên, rút gọn: A = $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$.

Ta có: A³ = $\left(5\sqrt{2}-7\right)$ - $\left(5\sqrt{2}+7\right)$ - $3\cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$.$\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\right)$

                = -14 - $3\cdot \sqrt[3]{50-49}\cdot A$ ⇔ A³ + 3A + 14 = 0

Suy ra (A + 2)(A² - 2A + 7) = 0 hay (A + 2)[(A - 1)² + 6] = 0.

Do đó A + 2 = 0 (vì (A - 1)² + 6 > 0 nên A = -2.

⮚ Chú ý: Từ Phương pháp 2, ta chứng minh một biểu thức dạng $x=\sqrt{a+b\sqrt{c}}+\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ hay $x=\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}\pm \sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}$ là nghiệm của một phương trình bậc hai hay bậc ba (cách làm là luỹ thừa bậc hai hay bậc ba như trên ta có phương trình của đề bài).

Ví dụ 6. Chứng minh $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$.

Suy ra x³ = $9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}$ + $3\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}$$\left(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\right)$

                = $18+3\sqrt[3]{81-80}\cdot x$ = 18 + 3x.

Do đó x³ - 3x - 18 = 0 nên $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$.

Vậy $x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tính x = $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$.

Bài 2. Rút gọn A = $\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}$.

................................

................................

................................

Xem thử Bộ đề thi thử vào 10 Toán 2025 Xem thử Bộ đề thi vào 10 Toán 2025 Xem thử Chuyên đề Toán ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• Chuyên đề: Hệ phương trình (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Phương trình bậc hai và định lí Viète (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Đường thẳng và Parabol (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Phương trình quy về phương trình bậc hai (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Phương trình vô tỉ (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Hình học phẳng (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Bài toán thực tế hình học (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Đa giác đều. Phép quay (Ôn thi Toán vào 10)

• Chuyên đề: Một số yếu tố thống kê và xác suất (Ôn thi Toán vào 10)

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---