Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.57 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MC}$ bằng

A. $\frac{a^2}{2};$

B. $-\frac{a^2}{2};$

C. a²;

D. –a².

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{BM}{MC}=\frac{2}{1}\Rightarrow \frac{BM}{BM+MC}=\frac{2}{2+1}$

Hay $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BC$

Do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Tương tự ta có $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

• $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

$=-\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=-\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

• $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

• Khi đó:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right).\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\right)$

$=-\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{1}{9}A{B}^2-\frac{2}{9}A{C}^2+\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{1}{9}A{B}^2-\frac{2}{9}A{C}^2$

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và $\widehat{BAC}=60°.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

= 3a.3a.cos60° = $\frac{9}{2}{a}^2.$

Do đó $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{1}{9}A{B}^2-\frac{2}{9}A{B}^2$

$=\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{9}A{B}^2$

$=\frac{1}{9}.\frac{9}{2}{a}^2-\frac{1}{9}.{\left(3a\right)}^2$

= $\frac{1}{2}$a² – a² = $-\frac{1}{2}$a².

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=$$-\frac{1}{2}$ a².

Ta chọn phương án B.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.39 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút ....

• Bài 4.40 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng? ....

• Bài 4.41 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA ....

• Bài 4.42 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và $\widehat{DAB}=120°.$ ....

• Bài 4.43 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3 ....

• Bài 4.44 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}$....

• Bài 4.45 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và $\widehat{ABC}=60°.$ ....

• Bài 4.46 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$ ....

• Bài 4.47 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC ....

• Bài 4.48 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là ....

• Bài 4.49 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là ....

• Bài 4.50 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a ....

• Bài 4.51 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ....

• Bài 4.53 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC}=60°.$ ....

• Bài 4.54 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ....

• Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB ....

• Bài 4.56 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB ....

• Bài 4.58 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC ....

• Bài 4.59 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD ....

• Bài 4.60 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC ....

• Bài 4.61 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB}=60°.$ ....

• Bài 4.62 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD ....

• Bài 4.63 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho ....

• Bài 4.64 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song ....

• Bài 4.65 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90°,$ BC = 1, AB = 2 và AD = 3 ....

• Bài 4.66 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng ....

• Bài 4.67 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2), $\overrightarrow{b}$= (3; –4) ....

• Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ....

• Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ....

• Bài 4.70 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---