Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.62 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A D} = \vec{v} .$

a) Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A P}, \vec{A Q}$ qua hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v} .$

b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.

Quảng cáo

Lời giải:

• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên $\vec{P D} = - 2 \vec{P M}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\vec{A D} - (- 2) \vec{A M} = (1 - (- 2)) \vec{A P}$

$\Rightarrow 3 \vec{A P} = \vec{A D} + 3 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ (vì M là trung điểm của AB)

$\Rightarrow \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}$

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

$\Rightarrow \vec{Q B} = - x \vec{Q N}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\vec{A B} - (- x) \vec{A N} = (1 - (- x)) \vec{A Q}$

$\Rightarrow (1 + x) \vec{A Q} = \vec{A B} + x \vec{A N}$

$= \vec{A B} + x (\vec{A D} + \vec{D N})$

$= \vec{A B} + x \vec{A D} + x \vec{D N}$

$= \vec{A B} + x \vec{A D} + x . \frac{1}{2} \vec{D C}$ (vì N là trung điểm của CD)

$= \vec{A B} + x \vec{A D} + \frac{1}{2} x \vec{A B}$ (vì $\vec{D C} = \vec{A B}$ )

$= (1 + \frac{1}{2} x) \vec{A B} + x \vec{A D}$

$\Rightarrow (1 + x) \vec{A Q} = \frac{x + 2}{2} \vec{u} + x \vec{v}$

$\Rightarrow \vec{A Q} = \frac{x + 2}{2 (x + 1)} \vec{u} + \frac{x}{x + 1} \vec{v}$ (do x ≠ −1)

b) Với $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}$ và $\vec{A Q} = \frac{x + 2}{2 (x + 1)} \vec{u} + \frac{x}{x + 1} \vec{v}$

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{A P}$ và $\vec{A Q}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{\frac{x + 2}{2 (x + 1)}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{1}{3}}$ $\Leftrightarrow \frac{x + 2}{2 (x + 1)} = \frac{x}{x + 1}$