Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.61 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB}=60°.$

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}.$

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn $2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NB}+x\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$ (x ≠ –1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Lời giải:

a) Ta có:

• $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = AB. AC.cos $\widehat{BAC}$ = 4.5.cos60° = 10.

• $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

= $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ – AB²

= 10 – 4²

= 10 – 16

= –6

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=10,$ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-6.$

b) Ta có

• $2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow 2\left(\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}\right)+3\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}\right)=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BC}-3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=-2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BC}$

$=2\overrightarrow{AB}+3\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}$

$=3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

• $\overrightarrow{NB}+x\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AN}+x\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN}\right)=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AN}+x\overrightarrow{AC}-x\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}-\left(1+x\right)\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left(1+x\right)\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}$

Do đó:

$\left(1+x\right)\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BM}=\left(\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}\right).\left(3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-A{B}^2+3xA{C}^2-x\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=\left(3-x\right)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-A{B}^2+3xA{C}^2$

= (3 – x).10 – 4² + 3x.5²

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN ⊥ BM thì $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BM}=0$

$\iff \left(1+x\right)\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BM}=0$ (với x ≠ –1)

$\iff$ 65x + 14 = 0

$\iff$ x = $-\frac{14}{65}$

Vậy với x = $-\frac{14}{65}$ thì AN ⊥ BM.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.39 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút ....

• Bài 4.40 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng? ....

• Bài 4.41 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA ....

• Bài 4.42 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và $\widehat{DAB}=120°.$ ....

• Bài 4.43 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3 ....

• Bài 4.44 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}$....

• Bài 4.45 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và $\widehat{ABC}=60°.$ ....

• Bài 4.46 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$ ....

• Bài 4.47 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC ....

• Bài 4.48 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là ....

• Bài 4.49 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là ....

• Bài 4.50 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a ....

• Bài 4.51 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ....

• Bài 4.53 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC}=60°.$ ....

• Bài 4.54 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ....

• Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB ....

• Bài 4.56 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB ....

• Bài 4.57 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a ....

• Bài 4.58 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC ....

• Bài 4.59 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD ....

• Bài 4.60 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC ....

• Bài 4.62 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD ....

• Bài 4.63 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho ....

• Bài 4.64 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song ....

• Bài 4.65 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90°,$ BC = 1, AB = 2 và AD = 3 ....

• Bài 4.66 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng ....

• Bài 4.67 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2), $\overrightarrow{b}$= (3; –4) ....

• Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ....

• Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ....

• Bài 4.70 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---