Cho hình thang vuông ABCD

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.65 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90°,$ BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}.$

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\widehat{CEA}=90°$

Tứ giác ABCE có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{CEA}=90°$ nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$AD

$\Rightarrow \overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

• Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}$

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\overrightarrow{ED}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

Vậy $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}.$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\right)+\overrightarrow{AD}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$ (do $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$)

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ $\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{ID}$ ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên $9\overrightarrow{IC}=-5\overrightarrow{ID}$ hay $\overrightarrow{IC}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{ID}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\overrightarrow{AC}-\left(-\frac{5}{9}\right)\overrightarrow{AD}=\left(1-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}+\frac{5}{9}\overrightarrow{AD}=\left(1+\frac{5}{9}\right)\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}+\frac{5}{9}\overrightarrow{AD}=\frac{14}{9}\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\right)+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+9\overrightarrow{AE}+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+9.\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+5\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=6\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}\right)$

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=6.3\overrightarrow{AG}$ (do $3\overrightarrow{AG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$)

$\Rightarrow 14\overrightarrow{AI}=18\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{9}{7}\overrightarrow{AG}$

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AG}$ cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có $14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow {\left(14\overrightarrow{AI}\right)}^2={\left(9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$\Rightarrow 196A{I}^2=81A{B}^2+2.\left(9\overrightarrow{AB}\right).\left(8\overrightarrow{AD}\right)+64A{D}^2$

Mà AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

$\Rightarrow$ 196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

$\Rightarrow$ AI² = $\frac{225}{49}$

$\Rightarrow$ AI = $\frac{15}{7}.$

• Ta có: $14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{9}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{9}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BI}=-\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{BI}\right)}^2={\left(-\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$\Rightarrow B{I}^2=\frac{25}{196}A{B}^2-2.\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}.\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}+\frac{16}{49}A{D}^2$

$\Rightarrow B{I}^2=\frac{25}{196}A{B}^2+\frac{16}{49}A{D}^2$ (do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$)

$\Rightarrow B{I}^2=\frac{25}{196}{.2}^2+\frac{16}{49}{.3}^2=\frac{169}{49}$

$\Rightarrow$ BI = $\frac{13}{7}.$

Vậy AI = $\frac{15}{7}$ và BI = $\frac{13}{7}.$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.39 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút ....

• Bài 4.40 trang 66 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng? ....

• Bài 4.41 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA ....

• Bài 4.42 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và $\widehat{DAB}=120°.$ ....

• Bài 4.43 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3 ....

• Bài 4.44 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}$....

• Bài 4.45 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và $\widehat{ABC}=60°.$ ....

• Bài 4.46 trang 67 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$ ....

• Bài 4.47 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC ....

• Bài 4.48 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là ....

• Bài 4.49 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là ....

• Bài 4.50 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a ....

• Bài 4.51 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ....

• Bài 4.53 trang 68 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC}=60°.$ ....

• Bài 4.54 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ....

• Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB ....

• Bài 4.56 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB ....

• Bài 4.57 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a ....

• Bài 4.58 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC ....

• Bài 4.59 trang 69 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD ....

• Bài 4.60 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC ....

• Bài 4.61 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB}=60°.$ ....

• Bài 4.62 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD ....

• Bài 4.63 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho ....

• Bài 4.64 trang 70 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song ....

• Bài 4.66 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng ....

• Bài 4.67 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2), $\overrightarrow{b}$= (3; –4) ....

• Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ....

• Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ....

• Bài 4.70 trang 71 sách bài tập Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---