Cho hình thang vuông ABCD

Voucher giảm giá Shopee dịp 09-09

Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 66, 67, 68, 69, 70, 71

Bài 4.65 trang 70 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\hat{D A B} = \hat{A B C} = 90 °,$ BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\vec{C M}, \vec{C M}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Quảng cáo

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B A} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\hat{C E A} = 90 °$

Tứ giác ABCE có $\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{C E A} = 90 °$ nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$ AD

$\Rightarrow \vec{E A} = \frac{1}{3} \vec{D A} = - \frac{1}{3} \vec{A D}$

Mà $\vec{C B} = \vec{E A}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \vec{C B} = - \frac{1}{3} \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{C M} = \vec{C B} + \vec{B M} = - \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

• Ta có: $\vec{C D} = \vec{C E} + \vec{E D}$

Mà $\vec{C E} = \vec{B A}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\vec{E D} = \frac{2}{3} \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{C D} = \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{A D} = - \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$

Vậy $\vec{C M} = - \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ và $\vec{C D} = - \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D} .$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

$\vec{A M} + \vec{A C} + \vec{A D} = 3 \vec{A G}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A E}$

$\Rightarrow 3 \vec{A G} = \vec{A M} + (\vec{A B} + \vec{A E}) + \vec{A D}$

$= \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} + \vec{A D}$ (do $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ )

$= \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A D}$

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ $\vec{I C}$ và $\vec{I D}$ ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên $9 \vec{I C} = - 5 \vec{I D}$ hay $\vec{I C} = - \frac{5}{9} \vec{I D}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\vec{A C} - (- \frac{5}{9}) \vec{A D} = (1 - (- \frac{5}{9})) \vec{A I}$

$\Rightarrow \vec{A C} + \frac{5}{9} \vec{A D} = (1 + \frac{5}{9}) \vec{A I}$

$\Rightarrow \vec{A C} + \frac{5}{9} \vec{A D} = \frac{14}{9} \vec{A I}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A C} + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 (\vec{A B} + \vec{A E}) + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 9 \vec{A E} + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 9. \frac{1}{3} \vec{A D} + 5 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 8 \vec{A D}$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 6 (\frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A D})$

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 6.3 \vec{A G}$ (do $3 \vec{A G} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A D}$ )

$\Rightarrow 14 \vec{A I} = 18 \vec{A G}$

$\Rightarrow \vec{A I} = \frac{9}{7} \vec{A G}$

Do đó hai vectơ $\vec{A I}$ và $\vec{A G}$ cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có $14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 8 \vec{A D}$

$\Rightarrow {(14 \vec{A I})}^{2} = {(9 \vec{A B} + 8 \vec{A D})}^{2}$

$\Rightarrow 196 A I^{2} = 81 A B^{2} + 2. (9 \vec{A B}) . (8 \vec{A D}) + 64 A D^{2}$

Mà AB ⊥ AD nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

$\Rightarrow$ 196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

$\Rightarrow$ AI² = $\frac{225}{49}$

$\Rightarrow$ AI = $\frac{15}{7} .$

• Ta có: $14 \vec{A I} = 9 \vec{A B} + 8 \vec{A D} \Rightarrow \vec{A I} = \frac{9}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D}$

$\Rightarrow$ $\vec{B I} = \vec{A I} - \vec{A B} = \frac{9}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D} - \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B I} = - \frac{5}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D}$

$\Rightarrow {(\vec{B I})}^{2} = {(- \frac{5}{14} \vec{A B} + \frac{4}{7} \vec{A D})}^{2}$

$\Rightarrow B I^{2} = \frac{25}{196} A B^{2} - 2. \frac{5}{14} \vec{A B} . \frac{4}{7} \vec{A D} + \frac{16}{49} A D^{2}$

$\Rightarrow B I^{2} = \frac{25}{196} A B^{2} + \frac{16}{49} A D^{2}$ (do $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ )

$\Rightarrow B I^{2} = \frac{25}{196} {.2}^{2} + \frac{16}{49} {.3}^{2} = \frac{169}{49}$

$\Rightarrow$ BI = $\frac{13}{7} .$

Vậy AI = $\frac{15}{7}$ và BI = $\frac{13}{7} .$

Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Sách VietJack cho 2k8-2k9: Trọng tâm Toán, Văn, Anh, Lí, Hóa... 10-11. Giảm 10% năm học mới!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.