Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 trong Bài 6: Vectơ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 57.

Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD.

Gọi E là trung điểm của SC. Suy ra OE là đường trung bình của tam giác SAC.

Suy ra $OE=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2}$ và OE // SA.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $BD=a\sqrt{2}$  mà O là trung điểm của BD nên $OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì ∆SBC đều cạnh a nên BE là đường cao. Suy ra $BE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì $O{E}^2+O{B}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}=B{E}^2$ .

Do đó ∆BOE vuông tại O. Do đó $\overrightarrow{OE}\perp \overrightarrow{OB}$.

Vì OE // SA và $OE=\frac{1}{2}SA$ nên $\overrightarrow{AS}=2\overrightarrow{OE}$.

Vì O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{OB}$ .

Khi đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OE}.\left(-2\overrightarrow{OB}\right)=0$.

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$.

Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}=-\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \cos \widehat{SAB}$.

Vì ∆SAB đều nên $\widehat{SAB}=60°$.

Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}=-a\cdot a\cdot \cos 60°=-\frac{a^2}{2}$.

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=0$

Lời giải:

 Có $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}\right)\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C'⊥B'D' .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên $C{C}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\Rightarrow C{C}^{\text{'}}\perp B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ $\Rightarrow \overrightarrow{C^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=0$  .

Do đó $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=0$.

Vậy $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=0$ .

Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Tập 1: Như đã biết, nếu có một lực $\overrightarrow{F}$ tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{MN}$, trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\overrightarrow{F}$có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.

Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Lời giải:

Ta có $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{MN}$ $=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{MN}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)$

Vì $\left|\overrightarrow{F}\right|,\left|\overrightarrow{MN}\right|$ không đổi nên A lớn nhất khi $\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)=1$.

Tức là $\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{MN}\right)=0°$.

Do đó lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Do đó khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng ta nên kéo (hoặc đẩy) theo hướng song song với hướng chuyển động mong muốn của vật.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 46

• Giải Toán 12 trang 47

• Giải Toán 12 trang 48

• Giải Toán 12 trang 50

• Giải Toán 12 trang 52

• Giải Toán 12 trang 53

• Giải Toán 12 trang 54

• Giải Toán 12 trang 56

• Giải Toán 12 trang 58

• Giải Toán 12 trang 59

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

• Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---