Giải Toán 12 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 59 Tập 1 trong Bài 6: Vectơ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 59.

Giải Toán 12 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Lời giải:

Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ với O là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dây cân bằng thì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ .

Vẽ hình bình hành OADB.

Theo quy tắc hình bình hành thì  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$.

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ $\iff \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OD}$.

Hay O là trung điểm của CD.

Do đó các điểm O, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ba sợi dây cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$  và $\overrightarrow{C^{\text{'}}C}$ ;                         b) $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$và $\overrightarrow{BC}$;                          c) $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

Bài 2.11 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45°, hãy tính:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ ;                                       b) $\left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)$;                  c) ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\mathrm{1.1.}\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) $\left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)$ $={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-6{\overrightarrow{b}}^2$ $=1+\frac{\sqrt{2}}{2}-6.1=-5+\frac{\sqrt{2}}{2}$.

c) ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=1+2.\frac{\sqrt{2}}{2}+1=2+\sqrt{2}$ .

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$.

Lời giải:

a) Có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right).\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$ .

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}$

$=\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\right)$

$=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}\right)$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}\right)$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}$$=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}\right)=0$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 46

• Giải Toán 12 trang 47

• Giải Toán 12 trang 48

• Giải Toán 12 trang 50

• Giải Toán 12 trang 52

• Giải Toán 12 trang 53

• Giải Toán 12 trang 54

• Giải Toán 12 trang 56

• Giải Toán 12 trang 57

• Giải Toán 12 trang 58

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

• Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---