Giải Toán 12 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 58 Tập 1 trong Bài 6: Vectơ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 58.

Giải Toán 12 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.1 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ phân biệt và đều khác $\overrightarrow{0}$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$  thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  ngược hướng.

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  ngược hướng.

Lời giải:

Các câu đúng là:

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng hướng.

Bài 2.2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$.

Lời giải:

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên AA' = BB' = DD' = 4. Suy ra $\left|\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}\right|=4.$

Xét ∆ABD vuông tại A, có $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{BD}\right|=\sqrt{13}$ .

Xét ∆DD'B vuông tại D, có $B{D}^{\text{'}}=\sqrt{D{B}^2+D{D^{\text{'}}}^2}=\sqrt{13+16}=\sqrt{29}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}\right|=\sqrt{29}$ .

Bài 2.3 trang 58 Toán 12 Tập 1: Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{a}$) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ và $\overrightarrow{e}$.

b) Giải thích vì sao các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đôi một bằng nhau.

Lời giải:

a) Các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ và $\overrightarrow{e}$ đều cùng phương với nhau.

Các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nên các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ cùng hướng với nhau.

b) Do trọng lực phân tán đều qua các chân bàn nên các phản lực có độ lớn như nhau.

Suy ra các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ có độ dài bằng nhau hơn nữa $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ cùng hướng với nhau nên các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đôi một bằng nhau.

Bài 2.4 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}-\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$ ;

c) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt là hình bình hành

Nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC};\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{CD}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right)+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ .

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}-\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$  nên $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}-\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}-\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

c) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$

Ta có $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DC}=-\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{CD}\right)=-\overrightarrow{C{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$  (quy tắc hình hộp).

Bài 2.5 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ . Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$:

a) $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}$ ;                                      b) $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$ ;                                      c) $\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

a) Vì ABB'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ .

$\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}$$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.$

c) $\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ .

Bài 2.6 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Lời giải:

Chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên

  $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ $\iff \overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}$$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Chứng minh: Nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$  thì ABCD là hình bình hành.

Có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ $\iff \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}$$\iff \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ .

Suy ra ABCD là hình bình hành.

Bài 2.7 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AB}$ .

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$ (1).

Vì SM = 2AM nên $\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}$ ; CN = 2BN nên$\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ (2).

Từ (1), (2), ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AB}$.

Bài 2.8 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).

Lời giải:

Giả sử khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều được mô phỏng như hình vẽ.

G là trọng tâm ∆BCD, I là trọng tâm của tứ diện

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên AG⊥(BCD) và AG = 8 cm.

Vì $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$ nên 3 điểm A, I, G thẳng hàng và $IG=\frac{1}{4}AG$ .

Do đó IG ⊥ (BCD). Khi đó $d\left(I,\left(BCD\right)\right)=IG=\frac{1}{4}AG=2$  cm.

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của khối rubik đến mỗi mặt là 2 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 46

• Giải Toán 12 trang 47

• Giải Toán 12 trang 48

• Giải Toán 12 trang 50

• Giải Toán 12 trang 52

• Giải Toán 12 trang 53

• Giải Toán 12 trang 54

• Giải Toán 12 trang 56

• Giải Toán 12 trang 57

• Giải Toán 12 trang 59

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

• Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---