Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Khi đó tổng n số hạng đầu tiên được tính theo công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tính tổng S= u₂ + u₄ + u₆ + ..+ u₁₄

Hướng dẫn giải:

* Ta có: với mọi n.

=> Dãy số (u_n ) là cấp số nhân với u₁ = 32 và công bội q = 2.

* các số u₂; u₄; u₆; ...; u₁₄ lập thành cấp số nhân số hạng đầu u₂ = u₁ . q = 64 và công bội q' = 2q = 4. Tổng của 7 số hạng u₂; u₄;...u₁₄ là :

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi cấp số nhân đó là (u_n) với . Theo đề bài ta có :

Từ (2) ta có:

⇔ q= 3. Thay vào (1) ta được :

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn. . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tính u₁?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế với u₁ ≠ 0 ta được :

* Với q = 6 => u₁ = 1.

* Với

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 1 hoặc 36.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn; . Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

Hướng dẫn giải:

* Trước tiên ta đi tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế ( với u_1.q≠0) ta được:

hay q = 2 thay vào (1) ta được u₁ = 3

*Ta có tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

Chọn D.

Ví dụ 6: Tính tổng S_n = 3 + 3² + 3³ + ....+ 3ⁿ

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 3; 3², 33³3; ..;3ⁿ là một cấp số nhân có n số hạng. Số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q= 3.

=> Tổng của n số hạng đầu tiên là:

Chọn A.

Ví dụ 7: Tính

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Có dãy số 3²; 3⁴;..; 3²ⁿ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u₁ = 32 và công bội q = 9. Do đó

Có dãy số là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội . Do đó

Vậy

Chọn C.

Ví dụ 8: Tính

Hướng dẫn giải:

Ta có

Vậy

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 và u₂ = −6. Biết rằng S_n = −29524 , tính u_n.

Hướng dẫn giải:

Ta có u₂ = u₁ . q nên −6 = 2q ⇔ q = −3

Ta có

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Nhận xét: dãy số 3,3², 3³, 3⁴,..., 3²⁰ là cấp số nhân với số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q= 3.

=> Tổng 20 số hạng của dãy số là:

Câu 2: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số (-1),(-1)²,(-1)³,…,(-1)⁴¹ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u₁ = −1 và công bội q = −1.

Do đó tổng S bằng.

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và công bội là số nguyên tố bé nhất. Tìm k, biết S_k = 189.

Lời giải:

Đáp án: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.

Ta có

Theo giả thiết, ta có:

Câu 4: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng. Có số hạng đầu là:

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:

Câu 5: Tính tổng sau

Lời giải:

Đáp án: B

* Nhận xét:

Nên:

Vì 10+ 10² + 10³ + ..+ 10ⁿ là tổng của cấp số nhân; số hạng đầu u1 =10, công bội q = 10 nên

Câu 6: Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết công bội q= 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486.

Lời giải:

Đáp án: A

Theo đề bài ta có:

Thay q= 3 vào (*) ta được :

Câu 7: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Câu 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi và .Tổng bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

suy ra trong đó là cấp số nhân với công sai

Do đó

Câu 9: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: u₁ = 4; q = 2 và S_n = 2044. Tính S_2n?

Lời giải:

Đáp án: D

*Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:

* Khi đó:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay
• Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân cực hay
• Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay
• Bài toán thực tế về cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Bài tập về cấp số nhân nâng cao (cực hay có lời giải)

---