Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân.

Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Cách 1. Chứng minh ∀n ≥ 1; u_n+1 = u_n q trong đó q là một số không đổi.

Cách 2. Nếu u_n ≠ 0 với mọi n thì ta lập tỉ số

T là hằng số thì (u_n) là cấp số nhân có công bội q = T.

T phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số nhân.

Cách 3. Chỉ ra tồn tại số k ≥ 2 sao cho:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n= 2²ⁿ⁺¹. Chứng minh (u_n) là cấp số nhân

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét tỉ số

=> Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 4.

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n = (-1)ⁿ.(-3)ⁿ⁺¹. Chứng minh (u_n) là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét tỉ số

=> Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 3.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh dãy số (u_n) không phải là cấp số nhân

Hướng dẫn giải:

Ta có

Xét tỉ số:

=> Dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = 2n+ 10. Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số (u_n) là cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

* Do đó có: u₁ = u₃ = u₅ =...= u_{2n+ 1} = ... (1)

Và u₂ = u₄ = u₆ = ...= u_2n = ... (2)

Theo đề bài có

Từ (1), (2) ,(3) suy ra u₁= u₂ = u₃ =...= u_2n = u_{2n+ 1} =....

Kết luận (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 1.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u_n = 30. Chứng minh rằng ( u_n) là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> (u_n) là cấp số nhân với q = 1.

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét tỉ số:

=> dãy số (u_n) là cấp số nhân với

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (u_n): . Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Và

=> dãy số trên là cấp số nhân với

Câu 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Xét tỉ số

=> (u_n) là cấp số nhân.

Câu 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n = 10n + 10. Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Xét tỉ số: phụ thuộc vào n.

=> Dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh (u_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Xét tỉ số:

=> (u_n) là cấp số nhân.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi : u_n= n. 2n. Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có;

Xét tỉ số:

=> Dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Câu 6: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi. Đặt vn= u_n + 3. Chứng minh (vn) là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có: v_n = u_n+ 3 ( 1) nên v_n+1 = u_n+1 + 3 (2).

Theo đề bài: u_n+1 = 4u_n + 9 => u_n+1 + 3 = 4u_n + 9 + 3 = 4( u_n + 3) (3)

Thay (1) và (2) vào (3) được: v_n+1 = 4v_n ∀n ≥ 1

Kết luận (v_n) là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v₁ = u₁ + 3 = 5.

Câu 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minhh rằng dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có:

Suy ra dãy số (u_n) đã cho không là cấp số nhân.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh rằng mỗi dãy số (un) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.

a) u_n = $-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$;             b) u_n = $\frac{2^n}{3^{n-1}}$.

Bài 2. Chứng minh mỗi dãy số (un) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) u_n = (-0,75)ⁿ                b) u_n = $\frac{5}{3^n}$.

Bài 3. Cho dãy (u_n) với u₁ = 1; u_n = 5u_n-1 - 3 (n ≥ 2); lập dãy v_n = u_n - 18.

Chứng minh (v_n) là một cấp số nhân.

Bài 4. Cho dãy (u_n) được xác định như sau:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\mathrm{2004,}{u}_2=2005\\ u_{n+1}=\frac{2u_n+u_{n-1}}{3}\left(n\ge 2\right)\end{array}\right.$

Lập dãy (v_n) với v_n = u_n+1 – u_n. Chứng minh (v_n) là một cấp số nhân.

Bài 5. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: $-3;-1;-\frac{1}{3};-\frac{1}{9};-\frac{1}{27};-\frac{1}{81}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay
• Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (cực hay có lời giải)
• Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay
• Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay
• Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (cực hay có lời giải)

---