Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u1; công sai là d. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

+ Ngoài ra; ta còn có 1 cách tính khác là:

+ Chú ý: Cho dãy số (u_n) là cấp số cộng có công sai d. Cho x và y là hai số hạng của cấp số cộng. Khi đó từ x đến y có số số hạng là:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = −10 và u₁₅ = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S₂₀ = 560    B. S₂₀ = 480

C. S₂₀ = 570    D. S₂₀ = 475

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng S = u₅ + u₆ + ..+ u₃₀

A. – 1243     B. -1235

C. – 1345     D. - 1450

Hướng dẫn giải:

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

* Ta có: u₅; u₆; ...; u₃₀ là cấp số cộng có 26 số hạng; số hạng đầu là u₅ = 2 + 4.(-3) = -10; công sai d = -3

=> Tổng

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) có d = –2; S₈ = 72. Tính u₁ ?

A. u₁ = 16    B. u₁ =- 16

C. u₁ = 8    D. u₁ = - 4

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

* Lại có: u₈ = u₁ + 7d => u₈ – u₁ = 7d = -14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) là một cấp số cộng có u₁ = -1; d = 2 và S_n= 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20    B. n= 21

C. n= 22    D. n= 23.

Hướng dẫn giải:

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A. 63     B. 67

C. 75     D. 81

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có :

Từ (1) suy ra : thế vào (2) ta được

Đặt khi đó phương trình (*) trở thành:

* Với thì

Với

Với

* Với t = 1 => d² = 1 ⇔ d= ±1

Với

Với

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u₁ thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u₄ + u₈ + u₁₁ + u₁₇ = 100. Tính S₁₉

A. 475     B. 500

C. 1000     D. 750

Hướng dẫn giải:

* Theo giả thiết ta có:

* Do đó:

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300. Tính u₉ + u₈

A. 50     B. 150

C.75     D. 100

Hướng dẫn giải:

*Theo giả thiết ta có:

u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300

⇔ u₁ + d + u₁ + 2d + u₁ + 6d + u₁ + 9d + u₁ +11d+ u₁ + 16d = 300

⇔ 6u₁ + 45d = 300 ⇔ 2u₁ + 15d = 100

* Do đó;

Chọn D.

Ví dụ 10: Cho (u_n) là cấp số cộng và S_m = S_n với m ≠ n.Tính S_m+n

A. 0     B. S_m − S_n

C. S_n − S_m     D. S_n + S_m

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

Do S_m = S_n với m ≠ n nên ta có:

* Ta có: (do (*)

Chọn A.

Ví dụ 11: Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 + ...+ (2n − 2) + 2n

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 2, 4, 6,.., 2n − 2, 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 2, số hạng tổng quát u_n= 2 + 2(n-1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

Chọn B.

Ví dụ 12: Gọi Khi đó S₂₀ có giá trị là

A. 34     B. 30,5

C. 325    D. 32,5

Hướng dẫn giải:

Có

Chọn D

Ví dụ 13: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d = 1 và u₂² − 2u₃² − u₄² đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S₂₀ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.120    B. 125

C.130    D.135

Hướng dẫn giải:

Đặt a = u₁ thì

với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 ⇔ a = −3.

Suy ra u₁ = −3.

Ta có .

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số cộng: −4; −8; −12; −16...Tìm công sai của cấp số cộng và tổng của 10 số hạng đầu tiên?

A.110    B. -220

C.220    D. -110

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: −16 − (−12) = −12 − (−8) = −8 − (−4) = −4

Nên công sai d = −4

Áp dụng công thức nên tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Câu 2: Cho dãy số (u_n) có d = 1; S₅ = 65. Tính u₂?

A. 12     B. 13

C. 14     D.10

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

=>u₁ + u₅ = 26 (1)

Lại có: u₅ = u₁ + 4d = u₁ + 4

=> u₅ − u₁ = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Số hạng thứ hai của dãy số là: u₂ = u₁ + d = 11 + 1 = 12

Câu 3: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tính S = u₁ + u₄ + u₇ +..+ u₂₀₁₁ .

A. S = 2023 736    B. S = 2534134

C. S = 673044    D. S = 2198 650

Lời giải:

Đáp án: A

* Gọi d là công sai của cấp số cộng, theo giả thiết ta có:

Ta có công sai d = 3 và số hạng đầu u₁ = 1.

* Ta có các số hạng u₁; u₄; u₇;...; u₂₀₁₁ lập thành một cấp số cộng gồm: số hạng với công sai d’ = 3d = 9.

nên ta có:

Câu 4: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là :

A. −565    B. −530

C. −652    D. −285

Lời giải:

Đáp án: B

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

Tổng của 20 số hạng đầu:

Câu 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tính tổng S= u₅ + u₇ + ..+ u₂₀₁₁

A. S = 3028760    B. S = 3420198

C. S = 3034088    D. S = 3298701

Lời giải:

Đáp án: C

* Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 là: u₅ = u₁ + 4d = 1 + 4.3 = 13

* Ta có u₅; u₇..,u₂₀₁₁ lập thành cấp số cộng với công sai d' = 2d = 6 và có số hạng nên .

Câu 6: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng .

Lời giải:

Đáp án: A

Theo giả thiết ta có:

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Câu 7: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

A. 10    B. 5

C. 8    D.0

Lời giải:

Đáp án: D

Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là: u₅ = u₁ + 4d = 0

Câu 8: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₂₂ = 20. Tính S₂₃?

A. 120     B. 230

C. 150     D. 200

Lời giải:

Đáp án: B

Theo giả thiết thì u₂ + u₂₂ = 20

⇔ u₁ + d + u₁ + 21d = 20

⇔ 2u₁ + 22d = 20

Lại có:

Câu 9: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂₁ + u₅₉ = 30. Tính u₂₀ + u₅₉ + u₁₅₈ + 3u₁

A.90     B.120

C.150     D. 180

Lời giải:

Đáp án: A

* Theo giả thiết ta có: u₁ + u₅₉ = 30

⇔ u₁ + 20d+ u1 + 58d = 30

⇔ 2u₁ + 78d = 30

* Do đó; u₂₀ + u₅₉ + u₁₅₈ + 3u₁

= u₁ + 19d + u₁ + 58d + u₁ + 157d + 3u₁

= 6u₁ + 234 = 3. (2u₁ + 78d) = 3 . 30 = 90.

Câu 10: Cho (u_n) là cấp số cộng. Đặt S_n = m; S_n = m với (m ≠ n). Tính S_m+n

A. – m- n     B.n+ m

C .2n+2m     D.n.m

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có S_m = n nên

Tương tự do S_n = m nên: 2nu₁ + (n² − n)d = 2m

Từ (1) và (2) vế trừ vế ta được :

Do m ≠ n nên:

Mặt khác ta có:

Thay kết quả (*) vào biểu thức của S_m+n ta được:

Câu 11: Tính tổng sau: S = 100² − 99² + 98² − 97² + ..+ 2² − 1²

A. 5000    B.5050

C.5100    D. 5150

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

S = 100² – 99² + 98² – 97² + ...+ 2² - 1²

⇔ S = (100 - 99) . ( 100+ 99)+ (98- 97). (98+ 97)+ ...+ ( 2-1)(2+ 1)

⇔ S = 199 + 195 + 191+ ...+ 3

Ta có dãy số 199, 195, 191,.., 3 là cấp số cộng với công sai d = -4, số hạng đầu tiên u₁ = 199 và có số hạng

Vậy tổng

Câu 12: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S_n = 4n − n². Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó :

A. M = 7    B. M= 4

C. M=- 1    D. M= 1

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Câu 13: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

A.76     B.77

C.78     D.79

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi số hàng cây là n.

Gọi số cây lần lượt trên các hàng là 1;2;3..;n.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; d = 1.

Ta có:

Vậy số hàng cần tìm là 77.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của u_n.

Bài 2. Cho cấp số cộng (u_n). Tìm u₁ và công sai d biết tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_n = 2n² – 5n.

Bài 3. Mỗi cấp số cộng có 5 số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm tổng của cấp số cộng đó?

Bài 4. Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S_n = 4n – n². Hãy tìm số hạng thứ ba và công sai của cấp số cộng đó.

Bài 5. Cho cấp số cộng (u_n) có u₂ + u₂₂ = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay
• Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay
• Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay
• Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay
• Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (cực hay có lời giải)

---