Bài toán thực tế về cấp số nhân (cực hay có lời giải)

Bài viết Bài toán thực tế về cấp số nhân với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán thực tế về cấp số nhân.

Bài toán thực tế về cấp số nhân (cực hay có lời giải)

A. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u_n (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã.

Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính u₅₃.

Từ giả thiết suy ra dãy (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu là và công bội q=0,5.

Do đó .

Chọn A.

Ví dụ 2: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Hướng dẫn giải:

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có công bội và

Khi đó diện tích mặt trên cùng là

Chọn A.

Ví dụ 3: Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có U₁ = 20000 và công bội q = 2.

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là

Ta có nên du khách thắng 20 000.

Chọn C.

Ví dụ 4: Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7000000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép( nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được ( cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

Hướng dẫn giải:

Đặt /p>

Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là .

Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là

Thay số ta được

Chọn C

Ví dụ 5: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt,ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô''. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam).

Hướng dẫn giải:

Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với u₁ = 1, q = 2.

Suy ra:

Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam suy ra 50.000.000 hạt nặng 1 tấn.

Suy ra 2⁶⁴ − 1 hạt thóc nặng .

Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.

- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.

Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu A_n, B_n lần lượt là số tiền công ( đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.

Theo giả thiết ta có:

+ A_n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 50000 và công sai d = 10000.

B_n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu v₁ = 50000 và công bội q = 1,08. Do đó

Suy ra nên chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét.

Suy ra nên chọn cơ sở A để khoan giếng 30 mét.

Chọn D.

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m²). Tính diện tích mặt trên cùng

Lời giải:

Đáp án: A

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội

Khi đó diện tích mặt trên cùng là :

Câu 2: Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10% Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án: B

* Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

* Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

Suy ra phương án đúng là B

Câu 3: Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Đáp án: D

Số tiền ban đầu là M₀ = 10⁸ (đồng)

Đặt r = 0,7% = 0,007

Số tiền sau tháng thứ nhất là

Số tiền sau tháng thứ hai là

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là

Do đó

Câu 4: Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2% Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt P₀ = 2000000 = 2 . 10⁶ và r = 1,2% = 0,012

Gọi P_n là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có: .

Suy ra (P_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu P₀ và công bội q = 1+ r.

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

Câu 5: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10¹² tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Lời giải:

Đáp án: C

Lúc đầu có 10²² tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u₁ = 10²² và công bội q = 2.

Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào. Ta có u₁₀ là số tế bào nhận được sau 3 giờ.

Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là .

Câu 6: Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

Lời giải:

Đáp án: C

+) Nếu số lá sen ngày đâù là 1 = 3⁰ thì số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 3¹; số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 3² ...số lá sen ngày thứ 10 là 3⁹.

Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá.

+) Nếu ngày đầu có u₁ = 9 lá thì ngày thứ 2 có : 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...

Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u₁ = 9; q = 3.

Số hạng thứ n là .

Để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá

Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.

Câu 7: Cho n đường tròn đồng tâm O. Biết rằng r₁ =2; chu vi đường tròn (O; r₂) có gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r₁);...; chu vi đường tròn (O; r_n) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O;r_n-1).Chu vi đường tròn (O; r_n) gấp 256 lần chu vi đường tròn (O; r₁). Tính r_n-1?

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có chu vi đường tròn có bán kính r là: P=2πr.

Do chu vi đường tròn (O; r₂) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r₁)

Do chu vi đường tròn ( O; r_n) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O;r_n-1) nên:

=> Dãy số r₁; r₂; r₃....; r_n là cấp số nhân có u₁ = r₁ = 2 và công bội q = 2.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một tháp gồm 11 tầng, với diện tích bề mặt trên của mỗi tầng theo quy luật cấp số nhân. Nếu diện tích mặt trên của tầng 1 là nửa diện tích của đế tháp, làm thế nào chúng ta có thể tính diện tích mặt trên cùng của tháp?

Bài 2. Một du khách đặt cược vào đua ngựa theo quy luật cấp số nhân. Nếu anh ta thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10, chúng ta có thể xác định liệu anh ta đã thắng hay thua bao nhiêu?

Bài 3. Một người nhận lương hàng tháng và tiết kiệm với lãi suất kép. Làm thế nào chúng ta có thể tính tổng số tiền anh ta tiết kiệm được sau 36 tháng?

Bài 4. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày. Nếu chúng ta muốn tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm), làm thế nào chúng ta sẽ giải quyết bài toán này?

Bài 5. Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình dưới). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay
• Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân cực hay
• Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay
• Bài tập về cấp số nhân nâng cao (cực hay có lời giải)

---