Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân cực hay

Bài viết Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân.

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân cực hay

A. Phương pháp giải

Cho ba số a,b và c; điều kiện để ba số trên lập thành cấp số nhân là: b² = ac

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho ba số x, 3x - 2 và 5x – 2. Tìm x để ba số trên theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để ba số x,3x - 2 và 5x - 2 lập thành cấp số nhân là:

Chọn C .

Ví dụ 2: Cho dãy số . Tìm x để ba số trên theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 0

Để ba số đã cho lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho dãy số . Tìm x để ba số trên theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Để ba số lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

=> Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 4: Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Ba số x, y – 4 , z theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Đồng thời các số x, y – 4 , z – 9 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính x.y.z?

Hướng dẫn giải:

* Dựa vào tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân ta có hệ phương trình:

* Từ (1) và (2) ta có:

Thay y = 2 vào (3) được: x+z= 5.

* Ta có: x+ z= 5 và x. z= y² = 4 suy ra giá trị của x và z là nghiệm của phương trình:

Có 2 bộ (x,y,z) thỏa yêu cầu là (1,2,4) và (4,2,1).

Trong cả hai trường hợp tích của ba số là 8.

Chọn B.

Ví dụ 5: Các số x+ 6y; 5x+ 2y và 8x+ y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đồng thời các số x- 1, y+2 và x +3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hỏi y là nghiệm của phương trình nào?

Hướng dẫn giải:

* Do ba số x+ 6y, 5x+ 2y và 8x+ y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

* Do ba số x- 1, y+ 2 và x+3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên :

* Thay (1) vào (2) ta được:

Chọn C.

Ví dụ 6: Tìm a, b, c biết rằng: a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a, c, b là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời a+ b+ c = 30. Tính a+ b?

Hướng dẫn giải:

* Theo đề bài ta có hệ phương trình sau:

Thay (1) vào (3) được: 3b= 30 ⇔ b= 10.

* Thay b= 10 vào (1) và (2):

Vậy a = 40; b = 10 và c = −20 => a + b= 50

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho hai số dương a và b sao cho a; a+ 2b; 2a+ b lập thành cấp số cộng và (b+1)² ; ab + 5; (a+1)² lập thành cấp số nhân. Tính a + b?

Hướng dẫn giải:

* Do a; a+ 2b và 2a+ b lập thành cấp số cộng nên :

* Do (b+1)²; ab + 5 và (a+1)² lập thành cấp số nhân nên:

* Nếu a+ b= 4. Lại có a= 3b nên ta có:

=> a= 3 ( thỏa mãn) . Khi đó; a+ b= 4.

* Nếu 2ab+ a+ b = -6 . Lại có a = 3b nên ta có:

Kết luận

Chọn B

Ví dụ 8: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và a, b, c- 4 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời a, b - 1 và c- 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tính c – 13a?

Hướng dẫn giải:

Do a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: ac = b²

Do a, b, c- 4 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, nên: a+ c- 4= 2b

Do a, b- 1, c- 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: a(c - 5)= (b-1)²

Ta có hệ phương trình:

Thay (1) vào (3):

Thay vào (2) được: a + c – 4 = 5a + 1 ⇔ c = 4a + 5

Thay b và c theo a vào (1) được:

Với a = 1 => b = 3 ; c= 9 => c - 13a = -4

Với

Chọn A.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xác định x để 3 số 2- x; x+ 1 và x- 3 lập thành một cấp số nhân:

Lời giải:

Đáp án: A

Ba số 2- x; x+ 1 và x- 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi:

=> Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Câu 2: Tìm x để 3 số 2x+ 6; x và 2x- 6 lập thành một cấp số nhân:

Lời giải:

Đáp án: D

Ba số 2x +6; x và 2x- 6 theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi:

Câu 3: Các số x+ 6y; 5x+ 2y, 8x+ y lập thành cấp số cộng và các số lập thành cấp số nhân. Tìm y?

Lời giải:

Đáp án: B

Theo giả thiết ta có hệ:

Giải (1) ⇔ 9x+ 7y = 10x + 4y

⇔ x = 3y thay vào (2) ta được:

Câu 4: Cho ba số x,3,y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x⁴ = y√3. Tìm x+ y?

Lời giải:

Đáp án: D

* Do ba số x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên:

* Thay vào x⁴ = y√3 ta được:

Tổng hai số cần tìm là: x + y = 4√3.

Câu 5: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36. Tính tích của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3.

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi bốn số cần tìm là a,b,c và d (a,b,c, d ∈ N*) ta có hệ :

Giải phương trình (*):

Với b= 16 => c= 20; d= 25 và a= 12.

=> b.c= 16.20= 320.

Câu 6: Cho các số 5x- y; 2x+ 3y; x+ 2y lập thành cấp số cộng ; các số (y+1)²; xy+ 1; (x-1)² lập thành cấp số nhân.Tính x; y

Lời giải:

Đáp án: B

*Ta có các số 5x- y;2x+ 3y; x+ 2y lập thành cấp số cộng nên suy ra:

2( 2x+ 3y) = 5x – y+ x+ 2y hay 2x= 5y (1)

*Các số (y+ 1)²; xy+ 1; (x-1)² lập thành cấp số nhân suy ra :

Thay (1) vào (2) ta được :

Vậy có 3 cặp giá trị (x; y) thỏa mãn:

Câu 7: Tìm x; y biết các số x+ 5y; 5x+2y; 8x+ y lập thành cấp số cộng và các số (y-1)²; xy – 1; (x+1)² lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

Đáp án: B

* Ta có x+ 5y; 5x + 2y; 8x+ y lập thành cấp số cộng nên ta có

( x+ 5y)+( 8x+ y) = 2( 5x+ 2y) ⇔ x= 2y.

* Do (y-1)²; xy – 1; (x+1)² lập thành cấp số nhân nên ta có:

+ Trường hợp 1: Nếu -x + y=0. Kết hợp điều kiện: x = 2y

=> x = 0 và y = 0.

+ Trường hợp 2. Nêu 2xy – x+ y-2=0 (*). Thay x= 2y vào (*) ta được :

Vậy có 3 cặp giá trị của (x; y) thỏa mãn:

Câu 8: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2,3,9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ 3 tạo thành cấp số nhân. Tính tích 3 số đó.

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi u₁; u₂; u₃ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Theo đề bài: u₁ + 2; u₂ + 3; u₃ + 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.

Ta có hệ phương trình:

Giải (*) :

*Với u₃ = 11 => u₁ = 3 .

Khi đó; tích ba số cần tìm là: 3.7.11= 231

* Với u₃ = 04 => u₁ = 18

Khi đó, tích ba số cần tìm là: - 4.7.18= -504.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ba số x, 5, 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x, 3, 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị A = |3y − x|?

Bài 2. Ba số dương lập thành cấp số nhân, tích của số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba bằng 36. Một cấp số cộng có n số hạng, công sai d = 4, tổng các số hạng bằng 510. Biết số hạng đầu của cấp số cộng bằng số hạng thứ 2 của cấp số nhân. Hãy tìm n.

Bài 3. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.

Bài 4. Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x⁴ = y$\sqrt{3}$. Tìm x, y.

Bài 5. Cho ba số dương a, b, c lập thành cấp số nhân.

Chứng minh: $\frac{1}{3}\left(a+b+c\right),\sqrt{\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)},\sqrt[3]{abc}$ cũng lập thành cấp số nhân.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay
• Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay
• Bài toán thực tế về cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Bài tập về cấp số nhân nâng cao (cực hay có lời giải)

---