Xác định ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn, … qua phép chiếu song song lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn, … qua phép chiếu song song lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn, … qua phép chiếu song song.

Xác định ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn, … qua phép chiếu song song lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Xác định ảnh của một điểm qua phép chiếu song song

Cho điểm M trong không gian và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của điểm M qua phép chiếu song song theo phương D là điểm M' nằm trên mặt phẳng (P) được xác định:

+ Vẽ đường thẳng đi qua điểm M và song song với phương chiếu Δ.

+ Đường thẳng này cắt mặt phẳng (P) tại điểm M'.

+ M' là ảnh của điểm M trên (P) qua phép chiếu song song.

Xác định ảnh của một đoạn thẳng qua phép chiếu song song

Cho đoạn thẳng AB trong không gian và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của đoạn thẳng AB trên (P) qua phép chiếu song song theo phương D là đoạn thẳng A'B'  với:

+ A$\text{'}$, B$\text{'}$ là ảnh được xác định qua phép chiếu song song của A, B trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu  D.

Xác định ảnh của một tam giác qua phép chiếu song song

Cho tam giác ABC trong không gian và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của tam giác ABC trên (P) qua phép chiếu song song theo phương D là tam giác A'B'C' với:

+ A$\text{'}$, B$\text{'}$, C$\text{'}$ là ảnh được xác định qua phép chiếu song song của A, B, C trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu D.

Xác định ảnh của một đường tròn qua phép chiếu song song

Cho đường tròn (O) trong không gian, M $\in$ (O) và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của đường tròn (O) trên (P) qua phép chiếu song song theo phương D là quỹ tích của điểm M$\text{'}$ với:

+ M$\text{'}$ là ảnh được xác định qua phép chiếu song song của M trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu D khi M di chuyển trên (O).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, M là trung điểm SC, N $\in$ SA, H là hình chiếu của M trên AC. Xác định ảnh của điểm M lên mặt phẳng đáy theo phương SA.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết: M là trung điểm SC, O là trung điểm của AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC.

Do đó, MO // SA;

Lại có MO $\cap$ (ABCD) = O.

$\Rightarrow$O là ảnh của M lên mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, M là trung điểm SC, N $\in$ SA, H là hình chiếu của M trên AC. Xác định ảnh của đoạn thẳng MN lên mặt phẳng đáy theo phương SA.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết: M là trung điểm SC, O là trung điểm của AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC.

Do đó, MO // SA;

Lại có MO $\cap$ (ABCD) = O.

$\Rightarrow$ O là ảnh của M lên mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.

Điểm S nằm trên phương SA, ta suy ra ảnh của S theo phương SA là giao điểm của SA và mặt phẳng (ABCD).

$\Rightarrow$ A là ảnh của S lên mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.

Từ chứng minh trên, ta kết luận OA là ảnh của đoạn thẳng MN lên (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình tứ diện có D, E, F, M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, AB, AC, BC (Như hình vẽ). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Tam giác AMN là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SB;

B. Tam giác BMK là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SB;

C. Tam giác AMN là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SC;

D. Tam giác CKN là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SB.

Bài 2. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O đường kính AB = 4. D, E lần lượt là trung điểm của SA và SB. Vẽ đường tròn tâm O$\text{'}$ đường kính DE. Biết SO vuông góc với mặt phẳng đáy. Ảnh của đường tròn (O$\text{'}$) lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SO có bán kính dài bao nhiêu?

A. 2;

B. 4;

C. 3;

D. 1.

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A$\text{'}$B$\text{'}$C$\text{'}$, M là trung điểm của AC. Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu (A$\text{'}$B$\text{'}$C$\text{'}$) theo phương CC’ biến M thành M’. Chọn mệnh đề đúng?

A. M$\text{'}$ là trung điểm của A$\text{'}$B$\text{'}$;

B. M$\text{'}$ là trung điểm của B$\text{'}$C$\text{'}$;

C. M$\text{'}$ là trung điểm của A$\text{'}$C$\text{'}$;

D. Cả ba đáp án trên đều sai.

Bài 4. Cho mặt phẳng (α), tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (a); phương chiếu d. Biết hình chiếu (theo phương d) của tam giác ABC lên mặt phẳng (P) là một đoạn
thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (P) // (α);

B. (P) ≡ (α);

C. d $\subset$ (α) hoặc (α) // d;

D. Không có đáp án đúng.

Bài 5. Có hình lăng trụ ABC.A$\text{'}$B$\text{'}$C$\text{'}$; AB, A$\text{'}$B$\text{'}$ có trung điểm lần lượt là I và I$\text{'}$. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu (CBB$\text{'}$C$\text{'}$) theo phương chiếu AI biến I$\text{'}$ thành điểm nào sau đây?

A. A$\text{'}$;

B. B$\text{'}$;

C. C$\text{'}$;

D. I.

Bài 6. Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng d₁ và d₂ có hình chiếu là hai đường thẳng song song a và b. Khi đó

A. d₁ và d₂ phải song song với nhau;

B. d₁ và d₂ phải cắt nhau;

C. d₁ và d₂ có thể chéo nhau hoặc song song với nhau;

D. d₁ và d₂ không thể song song.

Bài 7. Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng (Q), hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ có hình chiếu là 2 đường thẳng a và b. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d₁ và d₂ luôn cắt nhau;

B. d₁ và d₂ có thể trùng nhau;

C. d₁ và d₂ không thể song song;

D. d₁ và d₂ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.

Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Giả sử N là trung điểm của AB. trên mặt phẳng (BCD), hình chiếu của N qua phép chiếu song song theo phương AC là

A. Trung điểm BD;

B. Trung $\in$điểm BC;

C. Trọng tâm giác BCD;

D. Điểm B.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = a, ∆SAC và ∆SBD vuông cân tại A và B, đáy ABCD là tứ giác đều. d là đường thẳng vuông góc với (ABCD). Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy theo phương d là là S$\text{'}$. Hỏi độ dài của S$\text{'}$C là?

A. 2a;

B. $\frac{3a}{2}$ ;

C. $\frac{a\sqrt{5}}{2}$ ;

D. $\frac{5a}{2}$ .

Bài 10. Cho nửa hình trụ có các đáy là nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; nửa đường tròn tâm O$\text{'}$, đường kính CD. M$\in$ (O) sao cho MA = MB, N $\in$ (O$\text{'}$) sao cho NC = ND. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương MO$\text{'}$ biến ∆CDN thành tam giác có diện tích là bao nhiêu, biết ABCD là hình vuông cạnh a.

A. $\frac{a^2}{2}$ ;

B. $\frac{3a^2}{2}$ ;

C. $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ ;

D. $\frac{5a^2}{2}$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Tính chất của phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình trong không gian

• Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức

• Tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức

• Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa

• Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan

---