Công thức tính thể tích khối chóp cực hay (tam giác đều, tứ giác, ...)

Bài viết Công thức tính thể tích khối chóp (tam giác đều, tứ giác, ...) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Công thức tính thể tích khối chóp (tam giác đều, tứ giác, ...).

Công thức tính thể tích khối chóp cực hay (tam giác đều, tứ giác, ...)

Bài giảng: Cách tính Thể tích hình chóp, hình lăng trụ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

* Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy S_day thì thể tích tính theo công thức:

* Để xác định được chiều cao của hình chóp ta cần xác định:

• Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.

• Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.

• Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.

• Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.

• Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu.

Chú ý: Các công thức tính diện tích đa giác

a) Tam giác:

b) Hình vuông cạnh a: S = a²(a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành ABCD: S = đáy x cao = AB. AD.

e) Hình thoi ABCD: S= AB. AD.

f) Hình thang: (a,b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc:

Tính thể tích khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

2. Kết quả: Trong hình chóp đều:

    + Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.

    + Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

    + Cắt mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a. Gọi H là trung điểm AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SA=a√5

Lời giải:

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH = 2HB. Biết SC hợp với (ABC) một góc bằng 60º . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, AC = 6a

AH = 2HB; AB = 3a ⇒ HB = a

Có: SH⊥(ABCD) nên góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và HC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC=a√3, H là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với đáy một góc 60º . Tính thể tích của khối chóp theo a

Lời giải:

HD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SD và đáy là góc giữa HD và SD

Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Để xác định đường cao hình chóp, ta vận dụng định lí sau:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a√3 và ∠(SBC)=30º. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Kẻ SH vuông góc với BC

Xét tam giác SHB vuông tại H có:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Gọi H là trung điểm của AB

∆SAB đều nên SH ⊥ AB

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SH = a√3/2

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D. (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60º, AD = a. Tính thể tích của tứ diện ABCD

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC

Ta có: HD là hình chiếu vuông góc của DA lên mặt phẳng (BCD)

Do đó, góc giữa HD và mặt phẳng (BCD) là góc giữa AD và DH

⇒ ∠(ADH) =60º

Xét tam giác AHD vuông tại H có:

BCD là tam giác vuông cân tại D có DH là trung tuyến nên

BC=2DH=a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD=2a√5, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD

Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm của AB nên SM ⊥ AB

MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và MC

⇒ ∠(SCM) = 60º

Trong tam giác vuông SMC và SMD có:

Do ABCD là hình vuông nên MC = MD

Lại có:

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Bài 3. Một khối chóp vuông cân có cạnh đáy là 6cm và chiều cao là 8cm. Hãy tính thể tích của khối chóp này.

Bài 4. Một khối chóp tam giác có chiều cao là 10cm và diện tích đáy là 30cm². Hãy tính thể tích của khối chóp này.

Bài 5. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy. Biết diện tích tam giác SAB bằng 4a². Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi tốt nghiệp THPT khác:

• Phương pháp tính thể tích hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
• Phương pháp tính thể tích hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
• Phương pháp tính thể tích khối đa diện đều (cực hay)
• Phương pháp tính tỉ số thể tích của hai khối chóp (cực hay)
• Phương pháp tính thể tích các khối đa diện (cực hay)

---