Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp.

Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Định nghĩa : Cho tập hợp X gồm n phần tử (n≥1) và số nguyên k với 1≤k≤n. Khi lấy ra k phần tử của X và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của X).

Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là , tính bởi công thức:

Chú ý : Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy ta có

• Một số chia hết cho 2 nếu chữ số hàng đơn vị là 0; 2; 4; 6; 8.

• Một số là số lẻ nếu chữ số hàng đơn vị là 1; 3; 5; 7; 9.

• Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

• Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0.

• Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

• Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Từ các số 1, 2, 3, 4,7,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau ?

A.360    B.150    C.400    D.720

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số đã cho là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Do đó số các số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài : =360 số

Ví dụ 2 : Cho tập A= {1; 2; 3; 4; 5;6}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm lẻ gồm 4chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ tập A .

A.120    B.240    C. 260    D.Kết quả khác

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcd.

+ Vì đây là số lẻ nên d≠{ 1; 3; 5}. Có 3 cách chọn d.

+ Ứng với mỗi cách chọn d ta có: cách chọn abc.

⇒ số các số thỏa mãn đầu bài là: 3.= 180 số

Ví dụ 3 : Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A.600    B.240    C.80    D.60

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcde.

+ vì a ≠ 0 nên a≠ { 1; 2; 3;4;5} có 5 cách chọn a.

+ Sau khi chọn a; mỗi cách chọn bcde là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử. Nên số cách chọn abcde là = 120 số

⇒ Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ tập A là:

5.120= 600 số

Ví dụ 4 : Số các số tự nhiên gồm 5chữ số khác nhau chia hết cho 10 là

A.3260    B.3168    C.3024    D.12070

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là: x = abcde.

+ Vì x chia hết cho 10 nên e= 0 .

+ Vì 5 chữ số đôi một khác nhau nên a,b,c,d∈{1;2;3;4;5;6;7;8;9}

+ Khi đó mỗi cách chọn abcd là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử. Nên số cách chọn abcd là =3024 số.

Vậy số các số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là: 1. 3024= 3024 số.

Ví dụ 5 : Cho X= {1;2;3;4;5;6;7}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau từ X sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1?

A.2880    B.2280    C.1440    D.2520

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng .

   + Trường hợp 1: Nếu a= 1 khi đó có cách chọn 4 chữ số xếp vào b; c;d; e.

   + Trường hợp 2: Nếu a≠1 , khi đó: Có 6 cách chọn a. Có 2 cách xếp chữ số 1 vào số cần tạo ở vị trí b hoặc c. Các chữ số còn lại trong số cần tạo có cách chọn.

Như vậy trường hợp này có 2.6. =1440 số.

Vậy có tất cả 840+ 1440= 2280 số.

Ví dụ 6 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau mà hai chữ số chẵn đứng kề nhau?

A.720    B.1440    C.5040    D.3600

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

   + Số các số có 7 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho: 7!= 5040

   + Xếp 4 chữ số lẻ trên 1 hàng ngang với vị trí bất kì: 4! Cách.

   + Ở đây giữa các chữ số lẻ sẽ tạo thành 5 khoảng trống (bao gồm 3 khoảng trống giữa hai chữ số lẻ và 2 khoảng trống tại vị trí đầu và cuối). Ở mỗi khoảng trống, ta sẽ điền các chữ số chẵn 2, 4, 6 vào không kể thứ tự sao cho mỗi khoảng trống chỉ có 1 chữ số chẵn:

⇒ Số các số có 7 chữ số mà hai chữ số lẻ không đứng cạnh nhau : 4!.= 1440 số

⇒ Số các số có 7 chữ số mà hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau là: 5040- 1440= 3600 số

Ví dụ 7 : Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

A.15    B.120    C.72    D.12

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Giả sử số thỏa mãn đầu bài là abcd

   + Do số cần lập là số lẻ nên d∈ {1; 3; 5} có 3 cách chọn d.

   + Ứng với mỗi cách chọn d; việc chọn abc là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. Nên số cách chọn abc là

Do đó có 3.24= 72 số thỏa mãn.

Ví dụ 8 : Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?

A. 120    B. 192    C. 312    D. 216

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Giả sử số đó là abcde.

Do số cần lập là số chẵn nên e∈ { 0; 2; 4}.

+ Trường hợp 1: Nếu e= 0 chọn abcd có cách

⇒ có =120 số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Nếu e∈{ 2;4} chọn a có 4 cách chọn, chọn bcd có

⇒ có 2.4.24= 192 cách.

Do đó có 192+ 120= 312 số thỏa mãn.

Ví dụ 9 : Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong mỗi số nhất thiết phải có chữ số 1?

A.204    B.83    C.24    D.96

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn là abcd

+ Trường hợp 1. Nếu a = 1. Với mỗi cách chọn bcd là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Nên số cách chọn bcd: =60 số

+ Trường hợp 2. Nếu b = 1. Có 4 cách chọn a; có =12 cách chọn c và d.

⇒ có: 1. 4. 12= 48 số.

+ Tương tự; nếu c= 1; d= 1 cũng có 48 số thỏa mãn.

Suy ra số các số thỏa mãn đầu bài là: 60 + 48 + 48 + 48= 204 số.

Ví dụ 10 : Từ các số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?

A.720    B.1440    C.1400    D.2160

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: .

Do tổng các chữ số hàng chục; trăm và nghìn bằng 8 nên a₃+ a₄+ a₅ = 8 .

⇒ a₃; a₄; a₅ ∈ { (1; 2; 5); (1;3;4)}.

+ Trường hợp 1: Nếu a₃; a₄; a₅ ∈ ( 1; 2; 5).

   Có 3!= 6 cách chọn a₃ ; a₄ và a₅.

   Số cách chọn a₁; a₂; a₆ là =120 số

⇒ có 6. 120= 720 số thỏa mãn.

+ Tương tự; nếu a₃; a₄; a₅ ∈ ( 1; 3;4 )cũng có 720 số thỏa mãn.

⇒ Có tất cả: 720 + 720= 1440 số thỏa mãn.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Từ các số 0;1; 3; 4; 6; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A.2160    B.1880    C.1760    D.1680

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcde.

+ Vì a khác 0 nên có 6 cách chọn a.

+ với mỗi cách chọn bcde là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Nên số cách chọn bcde là = 360 số

⇒ có 6.360= 2160 số thỏa mãn.

Câu 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?

A.12    B.24    C.36    D.48

Lời giải:

Đáp án : C

+ Trường hợp 1: Số đó có dạng :

Chọn có = 20 cách nên có 20 số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Số đó có dạng chọn a₁ có 4 cách, chọn a₂ có 4 cách

⇒ có 4.4 = 16 số thỏa mãn

Do đó có tất cả: 20 + 16= 36 số thỏa mãn.

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau; biết rằng cả 3 chữ số đó đều là chữ số chẵn ?

A.56    B.36    C.64    D.48

Lời giải:

Đáp án : D

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện là abc.

Ta có: a,b,c∈ {0; 2; 4; 6; 8} và a khác 0.

+ Có 4 cách chọn a.

+ Có =12 cách chọn bc.

⇒ Có 4.12= 48 số thỏa mãn đầu bài.

Câu 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và không chia hết cho 2 ?

A.13400    B.24100    C.18240    D.2860

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn điều kiện bài toán là:

+ Do số cần lập không chia hết cho 2 nên a₆ ∈ { 1,3,5,7,9}. Có 5 cách chọn a₆.

+ Do a₁≠ 0 và khác a₆ nên có 8 cách chọn a₁.

+ Với mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử nên số cách chọn là = 1680 số

Do đó; số các số tự nhiển có 6 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 2 là:

8. 1680= 13440 số

Câu 5: Cho tập hợp A= {0,1,2,3,5,6,7}. Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

A.240    B.320    C.360    D.280

Lời giải:

Đáp án : B

+ Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcd

+ Trường hợp 1: Nếu d= 0

   Việc chọn mỗi số abc là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên có =120 số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Nếu d khác 0.

   chọn d có 2 cách chọn: d ∈ {2; 6}

   chọn a có 5 cách chọn, chọn bc có = 20 cách chọn

⇒ có 2.5.20= 200 số thỏa mãn.

   Do đó có 120 + 200= 320 số thỏa mãn.

Câu 6:

A.300    B.320    C.310    D.330

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau đượclập từ các số đã cho: abcd .

+ Từ 6 số đã cho ta lập được =360 số có 4 chữ số khác nhau.

+ Ta tính số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng 1.

Khi đó : a= 1 - có 1 cách chọn a.

Mỗi cách chọn bcd là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Nên có = 60 số thỏa mãn.

⇒ Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số đã cho và không bắt đầu bằng chữ số 1 là: 360 - 60 = 300 số

Câu 7: Từ các số 1,2,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.

A.410    B.480    C.500    D.512

Lời giải:

Đáp án : B

Goi số có 6 chữ số được lập từ các số đã cho là: .

+ Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các số đã cho là: 6!= 720 số

+ Ta tính số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các số đã cho và hai số 1; 2; đứng cạnh nhau:

   Coi hai số 1 và 2 là 1 phần tử X.

   Có 5!= 120 cách xếp X,6,7,8,9.

   Ta có 2! = 2 cách xếp 1 và 2 trong X.

⇒ Số các số thỏa mãn là: 120.2= 240 số.

⇒ số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau là: 720 – 240= 480 số.

Câu 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau chia hết cho 5?

A.660 số    B.521 số    C.760 số    D.315 số

Lời giải:

Đáp án : A

+ Trường hợp 1: Số đó có dạng chọn có cách nên có số thỏa mãn.

+ Trường hợp 2: Số đó có dạng chọn a1 có 5 cách, chọn có có cách nên có 5 số thỏa mãn.

Do đó có +5.=660 số thỏa mãn.

Câu 9: Với sáu chữ số 0, 1, 2, 6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong mỗi số nhất thiết phải có chữ số 0?

A.204    B.180    C.210    D.96

Lời giải:

Đáp án : B

Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn là abcd .

+ Trường hợp 1. Nếu b= 0. Với mỗi cách chọn (a; c; d) là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Nên số cách chọn (a,c,d): =60 số

+ Tương tự. Nếu c= 0; d= 0 có 60 số thỏa mãn.

Suy ra số các số thỏa mãn đầu bài là: 60+ 60+ 60=180 số.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị lặp (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Chỉnh hợp (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)

---