Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị.

Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Cho tập hợp X gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có công thức:

   P_n = n!

Với những bài toán cấu tạo số ta cần chú ý:

   • Số chẵn là số chia hết cho 2 và chữ số hàng đơn vị là: 0; 2; 4; 6; 8.

   • Số lẻ là số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 3; 5; 7; 9.

   • Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

   • Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0.

   • Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.

   • Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.

   • Một số chia hết cho 4 nếu hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số 1,4, 5; 8; 9?

A.20    B.120    C.60    D.15

Đáp án : B

Mỗi cách lập số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là một hoán vị của tập {1; 4; 5; 8; 9}.

⇒ Số có 5 chữ số khác nhau tạo thành từ tập trên là:

P5 = 5!= 120 cách .

Ví dụ 2 : Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 6; 7. Từ 5 chữ số này, ta lập các số chẵn có 5 chữ số khác nhau. Số các số có thể lập được là:

A.96    B.36    C.32    D.48

Đáp án :

Giả sử thỏa mãn đầu bài là a₁a₂a₃a₄a₅.

+ Chọn a₅ có 2 cách: a₅∈ {2; 6}.

+ Mỗi cách chọn a₁a₂a₃a₄ là một hoán vị của tập {1;2;3; 6; 7}\ {a₅}có 4 phần tử.

⇒ Số cách chọn a₁a₂a₃a₄ là 4!.

+ Theo quy tắc nhân có 2. 4!= 48 số thỏa mãn.

Ví dụ 3 : Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 7, 8 . Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số trên?

A.120    B.96    C.24    D.28

Đáp án : B

Gọi số cần tìm có dạng abcde, khi đó

   + Có 4 cách chọn chữ số a (trừ chữ số 0).

   + Số cách chọn bcde là 4! ( sau khi chọn a ta còn 4 số còn lại)

Vậy có tất cả 4.4! = 96 số cần tìm.

Ví dụ 4 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9?

A.16    B.18    C.20    D.14

Đáp án : A

Gọi số cần tìm có dạng (abc) ̅ với a;b;c∈{0;1;2;3;4;5}.

Vì số cần tìm chia hết cho 9 nên suy ra tổng các chữ số: ( a+b+c)⋮9.

Khi đó a; b; c∈{ ( 0;4;5);( 2;3;4);( 1;3;5)}.

Trường hợp 1 :

Với a; b; c∈(0;4;5)

Ta có 2 cách chọn a ( vì a khác 0) . Khi đó ta có 2 cách chọn b và 1 cách chọn c.

suy ra có 2.2.1 = 4 số thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 2 :

Với a;b;c∈(2;3;4) suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 3 :

Với a; b; c∈( 1;3; 5) suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu.

Vậy có thể lập được: 4+ 6+6= 16 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 5 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.

A.410    B.480    C.500    D.512

Đáp án : B

Từ 6 số đã cho ta lập được: 6!= 720 số có 6 chữ số khác nhau.

Giả sử hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau. Ta coi hai số này là một phần tử X.

   + Hoán đổi vị trí của hai số này ta có: 2!= 2 cách.

   + Xếp phần tử X và 4 số còn lại vào 5 vị trí ta có: 5!= 120 cách.

⇒ có 2. 120 = 240 cách sao cho hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau.

Suy ra: có 720- 240 = 480 số thỏa mãn đầu bài.

Ví dụ 6 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

A.96    B.98    C.196    D.192

Đáp án : D

+ Ta coi hai chữ số 2 và 3 là phần tử x. Xét các số: abcde trong đó a; b; c; d; e đôi một khác nhau và thuộc tập {0; 1; x; 4; 5}.

+ Vì a khác 0 nên có 4 cách chọn a.

   Với mỗi cách chọn a; ta có: 4! Cách chọn bcde

   ⇒ Có 4. 4!= 96 số thỏa mãn điều kiện trên .

+ Khi ta hoán đổi vị trí của 2; 3 trong x ta được hai số khác nhau.

   Suy ra: có 96. 2= 192 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 7 : Từ các chữ số {0, 2, 3,8,9} lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?

A.168    B.184    C.214     D.254

Đáp án : A

Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn là abcde.

+ vì a≠0 nên có 7 cách chọn a.

+ Số cách chọn bcde là số các hoán vị của 4 phần tử còn lại. Nên số cách chọn bcde là 4!.

⇒ số các số thỏa mãn là: 7. 4!= 168 số

Ví dụ 8 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,8 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 luôn đứng chính giữa.

A.5040    B.2520    C.720    D.1440

Đáp án : C

+ Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn là abc1def

+ Số cách chọn (a,b,c,d,e,f) là số các hoán vị của tập có 6 phần tử

⇒ số các số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là: 6!= 720

Câu 1 : Cho tập x = {1;2;3;4;5;6;7;8} .Từ tập X ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

A.50480    B.36060    C.20840    D.40320

Lời giải:

Đáp án : D

Số các số tự nhiên được lập từ tập X đôi một khác nhau là một hoán vị của 8 phần tử. Do đó số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là 8!=40320 số.

Câu 2 : Cho tập X= { 1; 2; 3; 4;6; 7; 8; 9}. Từ tập X ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn và có 8 chữ số khác nhau?

A.2016     B.10860    C.20160    D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án : C

Gọi số cần lập là n=a₁a₂a₃...a₈

Do n chẵn nên a₈ ≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn a₈.

Khi đó số cách chọn a₁a₂a₃...a₇ là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a₁a₂a₃...a₇ là 7!.

Theo quy tắc nhân có 4.7!=20160 số thỏa mãn.

Câu 3 : Cho tập A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Hỏi từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 8 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?

A.12980    B.15120    C.21980    D.16820

Lời giải:

Đáp án : B

Gọi số cần lập là n=a₁a₂a₃...a₈

Do n lẻ và không chia hết cho 5 nên a₈≠{3;7;9} có 3 cách chọn a₈.

Khi đó số cách chọn a₁a₂a₃...a₇ là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a₁a₂a₃...a₇ là 7!.

Theo quy tắc nhân có 3.7!=15120 số thỏa mãn.

Câu 4 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1 ?

A.720    B.120    C.600    D.144

Lời giải:

Đáp án : C

Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập được từ các chữ số đã cho là 6!.

Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt mà bắt đầu bằng chữ số 1 bằng số cách sắp xếp 5 chữ số 2, 3, 4, 5, 6 vào 5 vị trí sau là 5!.

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 6! – 5!= 600

Câu 5 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau?

A.600    B.720    C.480    D.360

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn là: n=a₁a₂...a₆

   + Có 5 cách chọn a₁.

   + Số cách chọn n=a₂a₃...a₆ là số hoán vị của tập 5 phần tử. Nên số cách chọn : n=a₂a₃...a₆ là 5!.

Theo quy tắc nhân; có 5.5!= 600 số thỏa mãn.

Câu 6 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 6, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?

A.240    B.480    C.960    D.1440

Lời giải:

Đáp án : B

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a₁a₂...a₆.

   + Do số này chia hết cho 2 nên a₆≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn.

   + Sau khi chọn a6; số cách chọn : n=a₁a₂...a₅ là số các hoán vị của tập 5 phần tử . Nên số cách chọn : n=a₁a₂...a₅ là 5!

⇒ Số các số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn đầu bài là: 4.5! = 480

Câu 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

A.98    B.114    C.208    D.216

Lời giải:

Đáp án : D

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a₁a₂...a₆.

Trường hợp 1. Nếu a₆ = 0.

Khi đó số cách chọn : n=a₁a₂...a₅ là số các hoán vị của tập có 5 phần tử

⇒ số các số có 5 chữ số thỏa mãn trường hợp này là: 5!= 120

Trường hợp 2. Nếu a₆ = 5.

Khi đó có 4 cách chọn a1 và có 4! Cách chọn n=a₂a₃a₄a₅

⇒ trường hợp 2 có 4.4!= 96 số thỏa mãn.

Kết hợp hai trường hợp có tất cả: 120+ 96= 216 số thỏa mãn.

Câu 8 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho hai chữ số chẵn không liền nhau?

A.3600    B.1440    C.2880    D.5040

Lời giải:

Đáp án : A

- Từ 7 số đã cho ta lập được: 7!= 5040 số có 7 chữ số đôi một khác nhau .

- Ta tính số các số có 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số đã cho sao cho hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau..

   + Coi hai số chẵn 2 và 4 là một phần tử X.

   + Từ phần tử X và 5 số còn lại ta lập được 6! Số có 6 chữ số.

   + Hoán đổi vị trí của hai số 2 và 4 ta có: 2! Cách

⇒ có 6! .2!= 1440 số có 7 chữ số khác nhau đôi một sao cho hai chữ số 2; 4 liền nhau.

Suy ra: có 5040 – 1440= 3600 số thỏa mãn đầu bài.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp giải bài tập quy tắc cộng (cực hay có lời giải)
• Bài tập về quy tắc cộng nâng cao (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập quy tắc nhân (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán đếm số (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán đếm hình (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Hoán vị (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh (cực hay có lời giải)

---