Phương pháp giải bài tập Hoán vị (cực hay có lời giải)

Bài viết Phương pháp giải bài tập Hoán vị với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải bài tập Hoán vị.

Phương pháp giải bài tập Hoán vị (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

+ Hoán vị: Cho tập A có n ( n≥1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử theo một thứ tự nhất định ; ta được một hoán vị các phần tử tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A).

+ Định lí 1: Số các hoán vị của tập A có n phần tử là :

   Pn= n!= n.(n- 1).( n- 2).( n- 3). ..1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho A= {a; b; c; d; e; g}. Số hoán vị của ba phần tử của A là:

A. 420    B.720    C.600    D.500

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Số hoán vị của 6 phần tử của A là 6! = 720.

Ví dụ 2 : Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc thì số các cách xếp khác nhau là:

A.11    B.30    C.121    D.110

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Mỗi cách xếp 11 học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của 11 phần tử- là 11 học sinh.

⇒ Có tất cả: 11!= 121 cách xếp.

Ví dụ 3 : Một nhóm học sinh gồm 6 nữ, 6 nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn thành một hàng dọc sao cho các bạn cùng phái thì đứng cạnh nhau?

A. 1864000

B. 4329000

C. 288000

D.1036800

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ta coi cả 6 bạn nữ là một nhóm X; cả 6 một nam là một nhóm Y.

   + Ta có: 2!= 2 cách xếp hai nhóm.

   + Số các hoán vị của tập X là: 6!

   + Số các hoán vị của tập Y là 6!

⇒ có tất cả: 2.6!.6!= 1036800 cách xếp.

Ví dụ 4 : Xếp sáu bạn: A,B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai bạn A và F ngồi hai đầu ghế?

A.48    B.24    C.720    D.120

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Số cách xếp A, F ngồi ở hai ghế đầu là : 2!=2 cách.

Số cách xếp B;C;D;E vào bốn ghế còn lại là hoán vị của 4 phần tử nên có 4!=24 cách.

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2.24=48 cách.

Ví dụ 5 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành 1 hàng dọc sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau. Số cách xếp là:

A.5!.5!    B.2.(5!)²    C.10!    D.2.5!

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Theo bài ra, ta thấy cách sắp xếp chính là việc nam nữ đứng xen kẽ nhau.

Như vậy sẽ có hai trường hợp, hoặc là bạn nam đứng đầu hàng hoặc là bạn nữ đứng đầu hàng.

Trường hợp 1. Nam đứng đầu hàng.

Xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí 1; 3; 5; 7; 9 có 5! Cách xếp.

Xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí 2; 4; 6; 8; 10 có 5! Cách xếp.

⇒ có 5!. 5! Cách xép trong trường hợp này.

Trường hợp 2. Nữ đứng đầu hàng.

Tương tự trường hợp 1; có 5!. 5! Cách xếp

Vậy số cách sắp xếp cần tìm 2.(5!)²

Ví dụ 6 : Có 5 môn thi Toán, văn; anh; hóa; sinh cần xếp vào 5 buổi thi, mỗi buổi 1 môn sao cho môn anh không thi buổi đầu thì số cách xếp là:

A.48    B.96    C.120    D.84

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Số cách xếp bất kì môn vào 5 buổi thi bất kì là: 5!

Giả sử môn anh luôn thi buổi đầu, thì số cách xếp 4 môn còn lại vào 4 buổi còn lại là: 4!

Vậy số cách xếp cần tìm: 5! – 4! = 96 cách

Ví dụ 7 : Có 4 cuốn sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau, 2 sách hóa khác nhau. Muốn sắp và một kệ dài các cuốn sách cùng môn kề nhau, 2 loại toán và lý phải kề nhau thì số cách sắp là:

A.1008    B.1120    C.1224    D.1152

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

+ Đối với 3 vị trí của 3 loại sách thì sách hóa chỉ có thể đứng ở đầu hoặc cuối: 2 cách chọn.

   Tương ứng mỗi vị trí của loại sách hóa thì số cách xếp các cuốn sách hóa là: 2!

+ Tương tự, có 4! cách xếp 4 quyển sách toán; 3! cách xếp 3 quyển sách lý.

   Hoán vị loại sách toán và sách lí có 2! cách

⇒ số cách xếp toán và lý là: 2.4!.3!

Vậy tổng số cách xếp cần tìm: 2.4!.3!.(2!.2) = 1152 cách

Ví dụ 8 : Trong một buổi giao lưu, có 5 học sinh trường X và 5 học sinh trường Y ngồi vào 2 bàn đối diện nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 người ngồi đối diện và ngồi cạnh thì khác trường nhau.

A.362880    B.86400    C.57600    D.28800

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Đánh số 10 vị trí ngồi từ 1 đến 10 trong đó 1 đến 5 là hàng 1 thuộc bàn 1, còn 6 đến 10 là hàng 2 thuộc bàn 2.

Giả sử 1 học sinh thường X ngồi vị trí số 1, thì các học sinh còn lại của trường X chỉ ngồi ở vị trí số lẻ, còn 5 học sinh của trường Y chỉ ngồi vị trí số chẵn.

Số cách xếp lúc này là: 5!.5!.

Tương tự với trường hợp học sinh trường X ngồi vị trí số chẵn, có 5!.5! cách xếp

Vậy số cách xếp cần tìm: 2.5!.5! = 28800.

Ví dụ 9 : Có 9 người rủ nhau đi xem phim, trong đó có 3 cô gái là Trang, Ngọc, Hà. Có bao nhiêu cách xếp vị trí ngồi cho 9 người vào một dãy 9 ghế sao cho ba cô gái Trang, Ngọc, Hà ngồi cạnh nhau ?

A.9!    B.9!/3!    C. 9!–3!    D.7!3!

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

+ Coi ba bạn Trang ; Ngọc ; Hà là một phần tử X .

+ Số cách xếp phần tử X và 6 bạn còn lại là 7 !.

+ Hoán đổi vị trí ba bạn Trang ; Ngọc ; Hà ta có 3 ! cách.

+ Theo quy tắc nhân có tất cả : 7 !. 3 ! cách xếp thỏa mãn.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Có 6 bạn A; B; C;D; E; F có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này vào một ghế dài sao cho hai bạn A và F ngồi cạnh nhau.

A.120    B.180    C.240    D.360

Lời giải:

Đáp án : C

Xem AF là một phần tử X, ta có 5!=120 cách xếp 5 người X;B;C;D;E.

Khi hoán vị A; F ta có thêm một cách xếp.

Vậy có 2.120 = 240 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 2 : Xếp 6 bạn A; B; C; D; E và F vào ghế dài sao cho A và F không ngồi cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

A.120    B.240    C.360    D.480

Lời giải:

Đáp án : D

Ta tính số cách xếp 6 bạn đó tùy ý và số cách xếp sao cho hai bạn A và F ngồi cạnh nhau.

   + Số cách xếp 6 người này vào ghế dài là: 6!

   + Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau:

Xem AF là một phần tử X, ta có 5!=120 cách xếp 5 người X;B;C;D;E.

Khi hoán vị A; F ta có thêm một cách xếp.

Vậy có 2.120=240 cách xếp để A và F ngồi cạnh nhau.

⇒ có 6! – 240 =480 cách xếp thỏa mãn đề bài.

Câu 3 : Xếp 30 quyển truyện khác nhau được đánh số từ 1 đến 30 thành một dãy sao cho bốn quyển 1, 3, 5 và 7 không đặt cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách?

A. 4!.26! B. 30! – 4!.26! C. 4!.27! D. 30! – 4!.27!

Lời giải:

Đáp án : B

Xếp 30 quyển truyện khác nhau có số cách là 30!

Ta tính số cách xếp mà 4 quyển 1, 3, 5, 7 đứng cạnh nhau:

   + Hoán vị 1, 3, 5, 7 ta được 4! cách.

   + Khi đã xếp 1, 3, 5, 7 cạnh nhau thì còn 26 vị trí, ứng với 26 vị trí này thì có 26! cách xếp các quyển còn lại.

Do đó xếp 4 quyển 1, 3, 5, 7 cạnh nhau có số cách là 4!.26!

Tóm lại có 30! – 4!26! cách xếp thỏa mãn.

Câu 4 : Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là

A.24    B.120    C.60    D.36

Lời giải:

Đáp án : A

+ Do bạn Chi ngồi chính giữa nên có 1 cách xếp bạn Chi.

+ Sau khi xếp bạn Chi; còn 4 chỗ trống. Xếp 4 bạn còn lại vào 4 vị trí trống có:

   4!= 24 cách xếp.

⇒ Có tất cả: 1. 24= 24 cách xếp thỏa mãn.

Câu 5 : Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

A.345600    B.725760    C.103680    D.518400

Lời giải:

Đáp án : C

+ Coi cả 3 viên bi đen là nhóm X; coi 4 viên bi đỏ là nhóm Y và 5 viên bi xanh là nhóm Z.

+ Xếp 3 nhóm viên bi vào một dãy có: 3!= 6 cách xếp.

+ Có 3!= 6 cách xếp 3 viên bi đen trong nhóm X.

+ Có 4!= 24 cách xếp 4 viên bi đỏ trong nhóm Y.

+ Có 5!= 120 cách xếp 5 viên bi xanh trong nhóm Z.

⇒ Có tất cả: 6.6.24.120 = 103680 cách

Câu 6 : Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng sao cho 3 học sinh nam đứng cạnh nhau ?

A.336    B.720    C.4320    D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án : C

+ Coi 3 bạn nam là một phần tử X.

   Hoán đổi vị trí 3 bạn nam này trong X ta có: 3!= 6 cách xếp

+ Số cách xếp phần tử X và 5 học sinh nữ là: 6!= 720 cách.

   Theo quy tắc nhân có 6.720= 4320 cách xếp thỏa mãn.

Câu 7 : Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

A.30240 cách    B.720 cách    C.362880cách    D.1440cách

Lời giải:

Đáp án : A

Ta tính số cách xếp 8 người này và số cách xếp sao cho hai thầy giáo đứng cạnh nhau.

+ Số cách xếp 8 người này thành một hàng ngang là: 8!.

+ Số cách xếp sao cho hai thầy giáo đứng cạnh nhau:

   Coi hai thầy giáo là một phần tử X.

   Số cách xếp X và 6 học sinh là 7!.

   Hoán đổi vị trí của hai thầy giáo có 2! Cách xếp.

⇒ Số cách xếp sao cho hai thầy giáo đứng cạnh nhau là: 7!. 2!

Suy ra: số cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau là:

8! - 7!.2= 30240 cách

Câu 8 : Một rổ có 10 loại quả khác nhau trong đó có 1 mít và 1 dưa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho mít và dưa cách nhau đúng 2 quả khác?

A.2257920    B.645120    C.564480    D.282240

Lời giải:

Đáp án : C

+ Đánh số thứ tự 10 vị trí xếp lần lượt là 1,2,3,4...,9,10.

+ Ta xếp hai quả mít và dưa trước:

   Do hai quả mít và dưa cách nhau đúng hai quả nên hai quả này xếp ở các vị trí:

   ( 1; 4); ( 2; 5); (3; 6); ( 4; 7); ( 5; 8) ; ( 6; 9) hoặc (7; 10).

   Hoán vị hai quả này ta có 2!= 2 cách xếp

   ⇒ có 7.2= 14 cách xếp hai quả mít và dưa.

+ Sau khi xếp hai quả mít và dưa; còn lại 8 chỗ trống để xếp 8 quả còn lại. Mỗi cách xếp 8 quả này là một hoán vị của 8 phần tử nên có 8! Cách xếp 8 quả này .

+ Theo quy tắc nhân có tất cả: 14 .8!= 564480 cách xếp .

Câu 9 : Có 4 bạn nam và 2 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn trên vào một ghế dài có 8 chỗ sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau thành một nhóm, các bạn nữ ngồi cạnh nhau thành một nhóm và hai nhóm này cách nhau đúng một chỗ ngồi?

A.144    B.192    C.152    D.164

Lời giải:

Đáp án : B

+ Coi 4 bạn nam là nhóm X; 2 bạn nữ là nhóm Y.

+ Xếp 2 nhóm X; Y vào 4 ghế; sao cho hai nhóm này cách nhau 1 ghế.

   Đánh số thứ tự của 4 ghế là 1,2, 3,4 .

   Do hai nhóm cách nhau một ghế nên hai nhóm ngồi ở vị trí ( 1; 3) hoặc ( 2; 4).

   Hoán vị 2 nhóm ta có: 2! Cách

   ⇒ Có 2!. 2= 4 cách xếp hai nhóm vào 4 ghế sao cho hai nhóm này cách nhau 1 ghế.

+ Hoán vị 4 bạn nam trong nhóm X ta có 4!= 24 cách.

+ Hoán vị 2 bạn nữ trong nhóm Y ta có: 2!= 2 cách .

⇒ Số cách xếp 4 bạn nam; 2 bạn nữ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4. 24 .2 = 192 cách.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp giải bài tập quy tắc cộng (cực hay có lời giải)
• Bài tập về quy tắc cộng nâng cao (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập quy tắc nhân (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán đếm số (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán đếm hình (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh (cực hay có lời giải)

---