Phương pháp giải bài toán đếm hình (cực hay có lời giải)

Bài viết Phương pháp giải bài toán đếm hình với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải bài toán đếm hình.

Phương pháp giải bài toán đếm hình (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Để đếm được có bao nhiêu hình thỏa mãn điều kiện T ta cần chú ý:

+ Một đường thẳng đươc xác định khi biết hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó.

+ Ba điểm tạo thành một tam giác nếu ba điểm đó không thẳng hàng.

+ Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song với nhau.

+ Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho hai đường thẳng phân biệt (d) và (Δ). Trên đường thẳng d cho 5 điểm phân biệt và trên đường thẳng Δ có 7 điểm phân biệt . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng có thể có từ các điểm trên?

A.37    B.35     C.12    D.14

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Một đường thẳng được xác định khi biết ít nhất hai điểm thuộc đường thẳng đó.

Ta tính số đường thẳng đi qua một điểm thuộc d và một điểm thuộc Δ.

+ Có 5 cách chọn một điểm thuộc d và 7 cách chọn một điểm thuộc Δ.

   Theo quy tắc nhân; có 5.7= 35 đường thẳng.

+ Tính cả hai đường thẳng d và Δ thì có tất cả:

   35 + 2= 37 đường thẳng thỏa mãn.

Ví dụ 2 : Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Trên đường thẳng a có 6 điểm phân biệt. Trên đường thẳng b có m điểm phân biệt . Biết rằng có tất cả 56 đường thẳng được tạo ra từ các điểm đã cho. Tìm m?

A.7    B.8     C.9    D.10

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ta tính số đường thẳng đi qua một điểm thuộc a và một điểm thuộc b.

+ Ta có: 6 cách chọn một điểm thuộc a và m cách chọn một điểm thuộc b.

   Theo quy tắc nhân; ta có: 6m đường thẳng đi qua một điểm thuộc a và một điểm thuộc b.

+ Tính cả hai đường thẳng a và b; thì có tất cả :

   6m + 2 đường thẳng được tạo ra.

+ Từ giả thiết suy ra: 6m + 2= 56 ⇔ m= 9.

Ví dụ 3 : Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 6 điểm phân biệt; trên đường thẳng b có 11 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo ra trong đó có hai đỉnh thuộc đường thẳng b.

A.550     B.660    C.116    D.126

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ta đi tìm số tam giác trong đó có hai đỉnh thuộc đường thẳng b và 1 đỉnh thuộc đường thẳng a.

Có 11. 10= 110 cách chọn hai đỉnh thuộc đường thẳng b ( điểm thứ nhất có 11 cách chọn; điểm thứ hai có 10 cách chọn).

Có 6 cách chọn 1 đỉnh thuộc a.

Theo quy tắc nhân có: 110.6= 660 tam giác thỏa mãn.

Ví dụ 4 : Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau . Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt. Trên đường thẳng b có 8 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ các điểm đã cho?

A. 1080    B.1200    C. 1120    D. 1280

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Một tam giác được xác định khi biết ba đỉnh của nó.

Ta đi tính số tam giác có hai đỉnh thuộc a, một đỉnh thuộc b và tam giác có hai đỉnh thuộc b; một đỉnh thuộc a.

Trường hợp 1 :

Tam giác có hai đỉnh thuộc a và một đỉnh thuộc b.

Có 10. 9= 90 cách chọn 2 đỉnh thuộc a.

Có 8 cách chọn 1 đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân; có 90.8= 720 tam giác.

Trường hợp 2 :

Tam giác có hai đỉnh thuộc b và 1 đỉnh thuộc a.

Có 8.7 = 56 cách chọn hai đỉnh thuộc b.

Có 10 cách chọn 1 đỉnh thuộc a.

Theo quy tắc nhân có: 56. 10= 560 tam giác.

Từ hai trường hợp; theo quy tắc cộng có: 720+ 560 = 1280 tam giác thỏa mãn.

Ví dụ 5 : Cho hai đường thẳng song song a và b . Trên đường thẳng a cho 8 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có n điểm phân biệt. Biết rằng có 576 tam giác được tạo thành từ các điểm đã cho. Tìm n?

A.6    B.8    C.5    D.9

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Trường hợp 1 :

Tam giác có 2 đỉnh thuộc a và 1 đỉnh thuộc b.

Có 8.7= 56 cách chọn hai đỉnh thuộc a.

Có n cách chọn 1 đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân có: 56n tam giác.

Trường hợp 2 :

Tam giác có 1 đỉnh thuộc a và 2 đỉnh thuộc b.

Có 8 cách chọn 1 đỉnh thuộc a.

Có n. ( n – 1) cách chọn hai đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân có: 8n( n-1) tam giác.

Theo quy tắc cộng; số tam giác thỏa mãn đề bài là:

56 n + 8n( n- 1) tam giác

Từ giả thiết suy ra: 56n+ 8n( n-1)= 576

⇔ 8n2 + 48n – 576 = 0 ⇔

Vậy n = 6.

Ví dụ 6 : Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 6 điểm phân biệt và trên đường thẳng b có 8 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu hình thang được tạo ra có đỉnh là các điểm đã cho.

A.2304     B.1920    C.1680    D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Một tứ giác là hình thang nếu có hai cạnh song song với nhau. Do đó; bài toán trở thành: tìm số cách chọn 2 điểm thuộc a và 2 điểm thuộc b.

   + Ta có: 6. 5= 30 cách chọn hai đỉnh thuộc a. ( điểm thứ nhất có 6 cách; điểm thứ hai có 5 cách) .

   + Tương tự; có 8. 7= 56 cách chọn hai đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân có: 30. 56= 1680 cách chọn thỏa mãn.

Ví dụ 7 : Cho đường tròn tâm O; bán kính R. Lấy 8 điểm bất kì A₁; A₂; A₃...A₈ trên đường tròn. Gọi B₁; B₂; B₃....B₈ lần lượt đối xứng với A₁; A₂;...; A₈ qua tâm O. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo ra từ các điểm đã cho

A. 56    B. 28    C. 14    D. 42

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.

+ Do B₁; B₂; B₃....B₈ lần lượt đối xứng với A₁; A₂; A₃...A₈ qua tâm O nên A₁B₁; A₂B₂....A₈B₈ là 8 đường kính của đường tròn.

+ Với hai đường kính bất kì AnBn và AmBm ( 1 ≤ n,m ≤ 8 và n≠m) ta có:

   ⇔ 8n² + 48n – 576 = 0 ⇔

   ⇒ Tứ giác A_nA_mB_nB_m là hình chữ nhật. Như vậy với mỗi bộ (n; m) cho ta một hình chữ nhật (chú ý: hai bộ số (n;m) và (m; n) cho ta cùng 1 hình chữ nhật.

+ Ta có 8 cách chọn n và 7 cách chọn m. Nên số hình chữ nhật thỏa mãn là : (8.7)/2=28

Ví dụ 8 : Cho 10 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng được tạo ra từ 10 điểm này?

A.90    B.100    C.45    D.50

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Một đường thẳng được xác định nếu biết hai điểm thuộc đường thẳng đó.

Có 10 cách chọn điểm thứ nhất và 9 cách chọn điểm thứ hai.

Chú ý: Đường thẳng AB ≡BA nên số đường thẳng được tạo ra từ 10 điểm đã cho là (10.9)/2=45 đường thẳng

Ví dụ 9 : Cho 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vecto khác vecto không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho?

A.81    B.72    C.73    D.18

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Một vecto được xác định nếu biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

   + Chọn điểm đầu có: 9 cách chọn

   + Chọn điểm cuối có: 8 cách chọn

Theo quy tắc nhân có 9.8= 72 vecto

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho hai đường thẳng phân biệt (d) và (Δ). Trên đường thẳng d cho 8 điểm phân biệt và trên đường thẳng Δ có 9 điểm phân biệt . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng có thể có từ các điểm trên?

A.74    B.35    C.72    D.17

Lời giải:

Đáp án : A

Một đường thẳng được xác định khi biết ít nhất hai điểm thuộc đường thẳng đó.

Ta tính số đường thẳng đi qua một điểm thuộc d và một điểm thuộc Δ.

+ Có 8 cách chọn một điểm thuộc d và 9 cách chọn một điểm thuộc Δ.

   Theo quy tắc nhân; có 8.9= 72 đường thẳng.

+ Tính cả hai đường thẳng d và Δ thì có tất cả :

   72+ 2= 74 đường thẳng thỏa mãn.

Câu 2 : Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt. Trên đường thẳng b có m điểm phân biệt . Biết rằng có tất cả 62 đường thẳng được tạo ra từ các điểm đã cho. Tìm m?

A.7    B.8    C.9    D.6

Lời giải:

Đáp án : D

Ta tính số đường thẳng đi qua một điểm thuộc a và một điểm thuộc b.

+ Ta có: 10 cách chọn một điểm thuộc a và m cách chọn một điểm thuộc b.

   Theo quy tắc nhân; ta có10m đường thẳng đi qua một điểm thuộc a và một điểm thuộc b.

+ Tính cả hai đường thẳng a và b; thì có tất cả :

   10m + 2 đường thẳng được tạo ra.

+ Từ giả thiết suy ra: 10m + 2= 62 ⇔ m= 6

Câu 3 : Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 8 điểm phân biệt; trên đường thẳng b có 12 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo ra trong đó có hai đỉnh thuộc đường thẳng b.

A.1550     B.1056    C.1164    D.1206

Lời giải:

Đáp án : B

Ta đi tìm số tam giác trong đó có hai đỉnh thuộc đường thẳng b và 1 đỉnh thuộc đường thẳng a.

   + Có 12. 11= 132 cách chọn hai đỉnh thuộc đường thẳng b ( điểm thứ nhất có 12 cách chọn; điểm thứ hai có 11 cách chọn).

   + Có 8 cách chọn 1 đỉnh thuộc a.

Theo quy tắc nhân có: 132. 8= 1056 tam giác thỏa mãn.

Câu 4 : Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau . Trên đường thẳng a có 12 điểm phân biệt. Trên đường thẳng b có 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo ra từ các điểm đã cho?

A.1080    B.1200    C.1142    D.1428

Lời giải:

Đáp án : D

Một tam giác được xác định khi biết ba đỉnh của nó.

Ta đi tính số tam giác có hai đỉnh thuộc a, một đỉnh thuộc b và tam giác có hai đỉnh thuộc b; một đỉnh thuộc a.

Trường hợp 1 :

Tam giác có hai đỉnh thuộc a và một đỉnh thuộc b.

Có 12.11= 132 cách chọn 2 đỉnh thuộc a.

Có 7 cách chọn 1 đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân; có 132. 7= 924 tam giác.

Trường hợp 2 :

Tam giác có hai đỉnh thuộc b và 1 đỉnh thuộc a.

Có 7.6= 42 cách chọn hai đỉnh thuộc b.

Có 12 cách chọn 1 đỉnh thuộc a.

Theo quy tắc nhân có: 42. 12= 504 tam giác.

Từ hai trường hợp; theo quy tắc cộng có: 924+ 504= 1428 tam giác thỏa mãn.

Câu 5 : Cho hai đường thẳng song song a và b . Trên đường thẳng a cho 9 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có n điểm phân biệt. Biết rằng có 576 tam giác được tạo thành từ các điểm đã cho. Tìm n?

A.10    B.8    C.5    D.9

Lời giải:

Đáp án :

Trường hợp 2 :

Tam giác có 2 đỉnh thuộc a và 1 đỉnh thuộc b.

Có 9.8= 72 cách chọn hai đỉnh thuộc a.

Có n cách chọn 1 đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân có: 72n tam giác.

Trường hợp 2 :

Tam giác có 1 đỉnh thuộc a và 2 đỉnh thuộc b.

Có 9 cách chọn 1 đỉnh thuộc a.

Có n.( n – 1) cách chọn hai đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân có: 9n( n-1) tam giác.

Theo quy tắc cộng; số tam giác thỏa mãn đề bài là:

72 n + 9n( n- 1) tam giác

Từ giả thiết suy ra: 72n + 9n( n-1) = 1530

⇔ 9n² + 63n – 1530 = 0 ⇔

Vậy n = 10.

Câu 6 : Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 7 điểm phân biệt và trên đường thẳng b có 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu hình thang được tạo ra có đỉnh là các điểm đã cho

A. 2304    B. 3920    C.1680    D. 3024

Lời giải:

Đáp án : D

Một tứ giác là hình thang nếu có hai cạnh song song với nhau. Do đó; bài toán trở thành: tìm số cách chọn 2 điểm thuộc a và 2 điểm thuộc b.

   + Ta có: 7.6= 42 cách chọn hai đỉnh thuộc a. ( điểm thứ nhất có 7 cách; điểm thứ hai có 6 cách).

   + Tương tự; có 9.8= 72 cách chọn hai đỉnh thuộc b.

Theo quy tắc nhân có: 42.72= 3024 cách chọn thỏa mãn.

Câu 7 : Cho đường tròn tâm O; bán kính R. Lấy 10 điểm bất kì A₁; A₂; A₃...; A₁₀ trên đường tròn. Gọi B₁; B₂; B₃....B₁₀ lần lượt đối xứng với A₁; A₂;...; A₁₀ qua tâm O. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo ra từ các điểm đã cho

A. 56    B. 45     C. 25    D. 90

Lời giải:

Đáp án : B

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.

+ Do B₁; B₂; B₃....B₁₀ lần lượt đối xứng với A₁; A₂;...; A₁₀ qua tâm O nên A₁B₁; A₂B₂....A₁₀B₁₀ là 10 đường kính của đường tròn.

+ Với hai đường kính bất kì A_nB_n và A_mB_m ( 1≤n,m≤10 và n≠m) ta có:

⇔ 9n² + 63n – 1530 = 0 ⇔

⇒ Tứ giác A_nA_mB_nB_m là hình chữ nhật. Như vậy với mỗi bộ (n; m) cho ta một hình chữ nhật (chú ý: hai bộ số (n;m) và (m; n) cho ta cùng 1 hình chữ nhật.

+ Ta có 10 cách chọn n và 9 cách chọn m. Nên số hình chữ nhật thỏa mãn là :

(10.9)/2=45

Câu 8 : Cho 11 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng được tạo ra từ 11 điểm này?

A.90    B.100    C.110    D.55

Lời giải:

Đáp án : D

Một đường thẳng được xác định nếu biết hai điểm thuộc đường thẳng đó.

Có 11 cách chọn điểm thứ nhất và 10 cách chọn điểm thứ hai.

Chú ý: Đường thẳng AB ≡ BA nên số đường thẳng được tạo ra từ 10 điểm đã cho là

(11.10)/2=55 đường thẳng

Câu 9 : Cho 12 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vecto khác vecto không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho?

A.144    B.121    C.132    D.120

Lời giải:

Đáp án : C

Một vecto được xác định nếu biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

   + Chọn điểm đầu có: 12 cách chọn

   + Chọn điểm cuối có: 11 cách chọn

Theo quy tắc nhân có 12. 11= 132 vecto

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp giải bài tập quy tắc cộng (cực hay có lời giải)
• Bài tập về quy tắc cộng nâng cao (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập quy tắc nhân (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán đếm số (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Hoán vị (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh (cực hay có lời giải)

---