Phương pháp giải bài toán Hoán vị lặp (cực hay có lời giải)

Bài viết Phương pháp giải bài toán Hoán vị lặp với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải bài toán Hoán vị lặp.

Phương pháp giải bài toán Hoán vị lặp (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Hoán vị lặp : Cho n phần tử, trong đó có n₁ phần tử x₁ , n₂ phần tử x₂, …, n_k phần tử x_k

(n₁+n₂+...+n_k=n). Mỗi cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí gọi là một hoán vị lặp của n phần tử đã cho.

Số tất cả các hoán vị lặp của n phần tử ở trên là :

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Từ tập X={1;2;3;4;5;6;7;8} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 4 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần?

A.11!/4!    B.11!    C.11!/4    D. 4.11!

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Mỗi cách lập số có 11 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 4 lần, các chữ số khác có mặt 1lần là một hoán vị lặp của 11 phần tử .( số 1 xuất hiện 4 lần; các số khác 1 lần).

Theo quy tắc hoán vị lặp có tất cả số các số thỏa mãn là:

Ví dụ 2 : Với các chữ số 0; 1;2; 3; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

A.6720 số    B.40320 số    C.5880 số    D.840số

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Gọi số có 8 chữ số là:

+ Mỗi cách lập số có 8 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần và các số khác có mặt xuất hiện 1 lần là một hoán vị lặp của 8 phần tử ( số 1 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện 1 lần).( tính cả trường hợp a1 = 0).

Theo quy tắc hoán vị lặp có tất cả:

+ Xét trường hợp a1= 0.

Ta tính số các số có 7 chữ số được lập từ các chữ số 1;2;3;7;9 trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần; các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Theo quy tắc hoán vị lặp có tất cả:

Suy ra số các số thỏa mãn đề bài là: 6720 – 840= 5880 số.

Ví dụ 3 : Từ các số của tập A= { 2; 4; 6; 8} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần; chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần và chữ số 8 xuất hiện 1 lần.

A.312    B.302    C.320    D.630

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

+ Mỗi cách lập số có 7 chữ số thỏa mãn: chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần; chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần và chữ số 8 xuất hiện 1 lần là một hoán vị lặp của 7 phần tử .

+ Theo quy tắc hoán vị lặp có tất cả:

Ví dụ 4 : Cho tập A= { 1; 3; 5; 6; 9}. Từ tập A ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số này chia hết cho 5.

A.360    B.540    C.180    D.1260

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là:

   + Do số này chia hết cho 5 nên ₇ = 5.

   + Bài toán trở thành tính số các số có 6 chữ số được tạo ra từ tập { 1; 3; 6; 9} sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần và 3; 9 chỉ xuất hiện 1 lần.

Theo quy tắc hoán vị lặp có:

Suy ra có 180 số thỏa mãn bài toán

Ví dụ 5 : Từ tập X= {1; 2; 4; 6; 7; 9}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 2 xuất hiện 2 lần; các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó không chia hết cho 2.

A.3780    B.2890    C.3620    D.4260

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số thỏa mãn bài toán là:

+ Vì số này không chia hết cho 2 nên a₈≠{1; 7; 9}.

+ Trường hợp 1. Nếu a₈= 1. Bài toán trở thành tính số các số có 7 chữ số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 2 xuất hiện 2 lần; các số 6; 7; 9 xuất hiện 1 lần.

   Theo quy tắc hoán vị lặp có:

+ Tương tự; nếu a₈ = 7; 9 ta cũng có 1260 số thỏa mãn.

Suy ra: số các số thỏa mãn đầu bài là:

1260+ 1260+ 1260= 3780 số.

Ví dụ 6 : Cho tập X={1; 2; 5; 6; 8}. Hỏi từ tập X lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 8 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó chia hết cho 5.

A.180     B.360    C.540    D.720

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là:

+ Do số cần lập chia hết cho 5 nên a₇= 5.

+ Khi đó; số các số thỏa mãn đầu bài bằng số các số có 6 chữ số sao cho chữ số 8 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần;các số 1, 2 xuất hiện đúng 1 lần.

+ Theo quy tắc hoán vị lặp; số các số thỏa mãn là:

Vậy có 180 số thỏa mãn đầu bài.

Ví dụ 7 : Cho tập A= {2; 4; 5; 6; 7}. Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 5 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó chia 2 thì dư 1.

A.280    B.360    C.540    D.720

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là :

+ Do số cần lập chia cho 2 thì dư 1 nên số cần lập là số lẻ.

⇒ a₇ ≠ { 5; 7}.

+ Trường hợp 1. Nếu a₇ = 5.

Ta tính số các số có 6 chữ số trong đó chữ số 4 xuất hiện 2 lần; các chữ số 2; 5; 6; 7 xuất hiện đúng 1 lần

Theo quy tắc hoán vị lặp có:

+ Trường hợp 2.Nếu a₇= 7.

Ta tính số các số có 6 chữ số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 5 xuất hiện 2 lần; các số 4 và 6 xuất hiện đúng 1 lần

Theo quy tắc hoán vị lặp có:

Kết hợp hai trường hợp suy ra số các số thỏa mãn đầu bài là:

360+ 180= 540 số

Ví dụ 8 : Cho tập X= {0;1; 3;5;6}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5.

A. 240    C. 360     C. 150    D.120

Hướng dẫn giải :

Đáp án : 120

Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là: :

Do số cần tìm vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên số đó chia hết cho 10.

⇒ a₇= 0.

Khi đó; số các số thỏa mãn đầu bài chính là số các số có 6 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các số 3,5,6 xuất hiện đúng 1 lần.

Theo quy tắc hoán vị lặp ta có:

Vậy có 120 số thỏa mãn đầu bài.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho tập A={ 1; 2; 4; 6; 9} từ tập hợp A thành lập được bao nhiêu số có 7 chữ số mà chữ số 9 có mặt 3 lần; mỗi chữ số khác có mặt 1 lần?

A.360    B.240    C.720    D.840

Lời giải:

Đáp án :

Mỗi số có 7 chữ số trong đó chữ số 9 xuất hiện 3 lần; mỗi chữ số 1; 2; 4; 6 xuất hiện đúng 1 lần là một hoán vị lặp của tập có 7 phần tử.

Theo quy tắc hoán vị lặp; số các số thỏa mãn là:

Câu 2 : Từ các số của tập A= {2; 3; 5; 6; 9} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng 2 lần; chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần và các số khác xuất hiện đúng 1 lần.

A.1260    B.3020    C.3200    D.3020

Lời giải:

Đáp án : A

Mỗi số có 7 chữ số trong đó có chữ số 2 xuất hiện đúng 2 lần; chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần và các số 5,6,9 xuất hiện đúng một lần là một hoán vị lặp của tập có 7 phần tử.

Theo quy tắc hoán vị lặp; số các số thỏa mãn là:

Câu 3 : Cho tập A= { 0; 1; 3; 4; 6}. Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện 1 lần.

A.2080    B.3360    C.2940    D.2860

Lời giải:

Đáp án : C

+ Ta đếm các số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện 1 lần ( kể cả số 0 đứng đầu).

   Dùng hoán vị lặp ( kể cả số 0 đứng đầu )có tất cả

   

+ Trong trường hợp 0 đứng đầu; ta đếm các số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 3 lần ; các số 3 và 4 xuất hiện đúng 1 lần.

   Dùng quy tắc hoán vị lặp ta có:

   

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 3360 - 420= 2940 số

Câu 4 : Với các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần và số đó chia hết cho 5?

A.6720 số    B.1560 số    C.1680 số    D.840 số

Lời giải:

Đáp án : B

Gọi số có 8 chữ số là:

Do số cần tìm chia hết cho 5 nên a₈ = 0 hoặc 5.

+ Trường hợp 1. Nếu a₈ = 5.

Khi đó; bài toán trở thành tìm số có 7 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần; các chữ số 0; 2; 3; 4 có mặt đúng 1 lần.

Dùng hoán vị lặp kể cả số 0 đứng đầu có:

Nếu số 0 đứng đầu; ta tìm số các số có 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần và các số 2; 3; 4 xuất hiện 1 lần. Có:

⇒ Số các số có 7 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần; các chữ số 0; 2; 3;4 có mặt đúng 1 lần là:

840 – 120 = 720 số

+ Trường hợp 2. Nếu a₈ = 0 .

Khi đó; bài toán trở thành tìm số có 7 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần; các chữ số 2; 3; 4;5 có mặt đúng 1 lần.

Dùng hoán vị lặp ta có:

Từ hai trường hợp suy ra số các số thỏa mãn đề bài là:

720+ 840 = 1560 số

Câu 5 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?

A.23100    B.23520    C.27912    D.26802

Lời giải:

Đáp án : A

- Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các số {2,2,3,3,3,a,b} với a,b ≠ {0,1,4,5,6,7,8,9} , kể cả số 0 đứng đầu.

Ta có 8 cách chọn a( a khác 2 và 3) và 7 cách chọn b( b khác 2;3 và a).

Dùng hoán vị lặp ( kể cả số 0 đứng đầu )có tất cả

Theo quy tắc nhân có 8.7.420=23520 số- kể cả số 0 đứng đầu

- Trong trường hợp 0 đứng đầu; ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số {2,2,3,3,3} với x ≠ {1,4,5,6,7,8,9} .

Tương tự như trên ta tìm được số

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 23520 - 420=23100.

Câu 6 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1; bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5 và số đó là số chẵn?

A.336    B.1008    C.3024    D.672

Lời giải:

Đáp án : D

Gọi số có 9 chữ số thỏa mãn đầu bài là

Do số cần lập là số chẵn nên a₉ = 2 hoặc 4.

+ Trường hợp 1. Nếu a₉= 2 . Ta tính số các số có 8 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 5 lần; các số 3; 4; 5 xuất hiện đúng 1 lần.

Theo quy tắc hoán vị lặp có:

+ Tương tự; nếu a₉ = 4 ta cũng tìm được 336 số thỏa mãn.

Kết hợp hai trường hợp; suy ra số các số thỏa mãn đầu bài là:

336+ 336= 672 số.

Câu 7 : Cho tập A = {1; 3; 4; 5; 7; 8}. Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 8 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và đây là số không chia hết cho 2.

A.2520    B.5040    C.7560    D.6840

Lời giải:

Đáp án : B

Gọi số có 8 chữ số thỏa mãn đề bài là:

Do số cần lập không chia hết cho 2 nên a₈ ≠{1;3;5;7}.

+ Trường hợp 1. Nếu a₈ = 1. Ta tìm số các số 7 chữ số trong đó chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 8 xuất hiện 2 lần; các số 3,5,7 xuất hiện đúng 1 lần.

Dùng quy tắc hoán vị lặp có:

số trong trường hợp này.

+ Tương tự; nếu a₈= 3; 5 hoặc 7 thì mỗi trường hợp có 1260 số thỏa mãn.

Từ đó; số các số thỏa mãn đề bài là:

1260+ 1260+ 1260+ 1260= 5040 số

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Chỉnh hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)

---