Cách tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách tìm hệ số lớn nhất trong khai triển với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm hệ số lớn nhất trong khai triển.

Cách tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Để tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ( ax+ by)ⁿ ta làm như sau :

   + Bước 1. Tìm số hạng thứ k trong khai triển. Từ đó; suy ra hệ số của số hạng thứ k.

   + Bước 2. Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k+ 1} (1)

   + Bước 3. Giải bất phương trình : a_k > a_k+1 ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển

( chú ý 0≤k≤n và k nguyên dương )

Một số công thức thường dùng trong các bài tập dạng này như sau :

Mở rộng được công thức :

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

A.366080    B.244536    C.122480    D.126480

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ví dụ 2: Số lớn nhất trong các số

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ví dụ 3: Hệ số lớn nhất trong khai triển (x+2)¹⁰ là

A.1260    B.12840    C.15360    D.1200

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ví dụ 4: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Xét khai triển . Hệ số lớn nhất của P(x) là

A.6150146    B.3075072    C.25648    D.129024

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ví dụ 5:

A.2¹⁰⁰⁰     B. 2¹⁰⁰⁰+ 1     C.1000     D. 2¹⁰⁰⁰-1

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ví dụ 6: Tính tổng :

A.2^n-2     B.2^n-1    C.2^2n-2    D.2^2n-1

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ví dụ 7: Cho k≤n trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai ?

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ví dụ 8: Trong khai triển (x-2)⁹⁹= a₀+ a₁.x+ a₂x²+ ..+ a₉₉.x⁹⁹.Tổng hệ số: a₀+ a₁ + ...+ a₁₀₀.

A.-1    B.1    C.0    D.2

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ta có:

(x-2)⁹⁹= a₀+ a₁.x+ a₂x²+ ..+ a₉₉.x⁹⁹( *)

Cho x = 1 thay vào (*) ta được:

(1-2)⁹⁹ =(-1)⁹⁹ = - 1= a₀+ a₁+a₂ + ..+ a₉₉

Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho là – 1

Ví dụ 9: Cho n nguyên dương thỏa mãn . Số các giá trị của n thỏa mãn là:

A.10 số    B.9 số    C.8 số    D.7 số

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ví dụ 10:

A.S = 2¹⁵    B.S = 2¹⁴    C.S = 2¹³    D.S = 2¹²

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ví dụ 11: Giá trị của n thỏa mãn:

A.n = 7    B.n = 6    C.n = 5    D.n = 4

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ví dụ 12: Cho phương trình :

Tìm nghiệm của phương trình trên

A.11    B.10    C.13    D.12

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Hướng dẫn giải :

Ví dụ 13: Giải bất phương trình

A.S = [3;5]     B.S = [3;4]    C.S = {3;4;5}    D.S = {3;4}

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Điều kiện:x≥3,x∈N.

Ta có bất phương trình

Kết hợp với điều kiện xác định ta có 3≤x≤4

Mà x nguyên dương nên S = {3;4} là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 14: Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển (1- √3 x)²ⁿ biết n là số nguyên dương thỏa mãn:

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ví dụ 15: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:

với x≠0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn:

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ví dụ 16: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

A.n = 10    B.n = 9     C.n = 8     D.n = 11

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong khai triển biểu thức số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là

A.1880    B.4536    C.2864    D.1864

Lời giải:

Đáp án : B

=> Trong khai triển có hai số hạng nguyên là T₄₅₃₆ và T₁₀ = 8.

Vậy trong khai triển biểu thức số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là: 4536

Câu 2: Giả sử P(x)=(2x+1)ⁿ = a₀ +a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ thỏa mãn a₀ +a₁/2+a₂/2²+...+a_n/2ⁿ = 2¹² . Hệ số lớn nhất trong các hệ số {a₀; a₁; a₂; ..; a_n} là

A.126720    B.495    C.256    D.59360

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 3: Khai triển đa thức P(x)= (1/3+ 2/3 x)¹⁰= a₀+ a₁.x+⋯+a₉ x⁹+ a₁₀.x¹⁰ . Tìm hệ số a_k (0≤k≤10) lớn nhất trong khai triển trên.

Lời giải:

Đáp án : B

Câu 4:Chon là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức P(x)= (1+ x).(1+ 2x)ⁿ sau khi khai triển và rút gọn.

A.5069246    B.58612096    C.48692096    D.50692096

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 5:

A.7ⁿ    B.8ⁿ    C.9ⁿ    D.6ⁿ

Lời giải:

Đáp án : C

Câu 6: Tính tổng :

theo n ta được:

Lời giải:

Đáp án :

Câu 7:

A.n = 5    B.n = 6    C.n = 7    D.n = 8

Lời giải:

Đáp án : B

Câu 8: Cho khai triển P(x)= (1+2x)²⁰¹⁴= a₀+ a₁x+ a₂.x²+⋯+ a₂₀₁₄.x²⁰¹⁴. Khi đó tổng S= a₁+ 3².a₃+⋯+ 3²⁰¹⁰.a₂₀₁₁+ 3²⁰¹².a₂₀₁₃ có giá trị bằng

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 9: Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai?

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 10:

A. Lời giải trên sai từ bước 1.

B. Lời giải trên sai từ bước 2.

C. Lời giải trên sai ở bước 3.

D. Lời giải trên đúng.

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 11: Nếu A_x²=110 thì:

A.x = 11    B.x = 10    C.x = 12    D.x = 8

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 12:

A.2018.2²⁰¹⁷    B.2017.2²⁰¹⁸    C.2018.2²⁰¹⁸    D.2017.2²⁰¹⁷

Lời giải:

Đáp án :

Câu 13:

Lời giải:

Đáp án : B

Câu 14:

A.2451570    B.3848222    C.836418    D.1307527

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 15:

A. x= 5

B. x= 11 hoặc x= 5

C.x = 11

D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án : C

Câu 16:

Tìm hệ số của x¹⁴ trong khai triển ( 1/x+ x³)⁽³ⁿ⁺¹⁾ với x≠0; biết n là số nưguyên dương thỏa mãn:

A.150     B.180     C.240     D.210

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 17: Tìm hệ số chứa x⁷ trong khai triển ( 3x²- 2/x)ⁿ với x≠0; biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển là 1080.

A.90    B.–720    C.630    D.-810

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 18:

A.n = 5     B.n = 6     C.n = 7     D. n = 4

Lời giải:

Đáp án : A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay
• Tìm số hạng chứa x^a trong khai triển đa thức P (cực hay có lời giải)
• Bài tập về nhị thức Newton nâng cao (cực hay có lời giải)
• Cách xác định phép thử, không gian mẫu (cực hay có lời giải)
• Cách tìm xác suất của biến cố (cực hay có lời giải)
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số (cực hay có lời giải)

---