Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Bài viết Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển.

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

A. Phương pháp giải

1. Công thức nhị thức Niu-tơn

Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có :

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).

Quy ước: a⁰ = b⁰ = 1

Chú ý :

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)

   + Số các hạng tử là n + 1.

   + Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.

   + Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

Hệ quả :

Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton

2. Tam giác Pascal.

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau :

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.

- ¬Nếu biết hàng thứ n ( n≥1) thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

Nhận xét :

3. Mở rộng của khai triển nhị thức Niu- tơn

Bước 1:Viết tam giác Pascal đến dòng thứ nđể có được hệ số của nhị thức Niuton (b+ c)n

Bước 2: Ở các đầu dòng ta viết các đơn thức là khai triển nhị thức Newton

Bước 3: Nhân lần lượt các đơn thức ở đầu dòng mỗi cột với các đơn thức còn lại trên mỗi dòng đó rồi cộng các kết quả lại, ta thu được kết quả khai triển.

Cụ thể ta có ở dưới đây

Chú ý 1:

Chú ý 2:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính hệ số x¹⁰y⁸ trong khai triển ( x + y)¹⁸?

A.43758    B.23145    C.45    D.12458

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Theo công thức nhị thức Niu- tơn; hệ số chứa x¹⁰.y⁸ là:

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển ( 2x- 5)7

A.175000    B.–70000    C.70000    D.-175000

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ta có: (2x – 5)⁷ = [ (2x + (-5)]⁷

Theo công thức nhị thức Niu-tơn; số hạng chứa x⁴ là:

Do đó hệ số của x₄ là:

Ví dụ 3: Trong khai triển nhị thức (x + 1)ⁿ⁺⁹. Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

A.10    B.17    C.9    D.12

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Chú ý: Số các số hạng của khai triển mũ n là n + 1.

Vậy khai triển (x+1)^{n+ 9} có tất cả 17 số hạng suy ra n + 9= 17 + 1.

⇔ n + 9= 18 nên n= 9

Ví dụ 4: Tìm hệ số chứa x⁹ trong khai triển

(1+x)⁹+(1+x)¹⁰+(1+x)¹¹+(1+x)¹²+(1+x)¹³+(1+x)¹⁴+(1+x)¹⁵

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

+ Trong khai triển (1+x)⁹ thì số hạng chứa x⁹ là:

+ Tương tự hệ số chứa x⁹ trong các khai triển ( 1+x)¹⁰; ( 1+ x)¹¹; ( 1+ x)¹²; ...; ( 1+ x)¹⁵ là

Do đó; hệ số chứa x⁹ cần tìm là:

.

Ví dụ 5: Trong khai triển , hai số hạng cuối là:

.

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ta có:

là hai số hạng cuối cùng của khai triển

Ví dụ 6: Trong khai triển (2∛x+3√x )¹⁰,(x>0) số hạng chứa x⁴ sau khi khai triển là

A.1808640    B.1088640x4    C.1808460x4    D.207360

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ví dụ 7: Hệ số của số hạng chứa x⁹ trong khai triển (4/3-3x³)¹⁵ là

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ví dụ 8: Trong khai triển (1+ 3x)²⁰ với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là:

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ví dụ 9: Nếu bốn số hạng đầu của một hàng trong tam giác Pascal được ghi lại là:

1    16    120    560

A. 1    32    360    1680

B. 1    18    123    564

C. 1    17    137    697

D. 1    17    136    680

Khi đó 4 số hạng đầu của hàng kế tiếp là:

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

4 số hạng tiếp theo của tam giác Pascal là:

1    1+16=17    16+120=126    120+560=680

Ví dụ 10: Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển (5a-1)⁵ và số hạng thứ 5 trong khai triển (2a- 3)⁶ là:

A.4160a²    B.-4160a²    C.4610a²    D.4620a²

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Ví dụ 11: Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển P(x)=(3x² + x + 1)¹⁰ là :

A.1695    B.1485    C.405    D.360

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ví dụ 12: Tìm số hạng chứa x¹³ trong khai triển thành các đa thức của (x + x² + x³ )¹⁰ là :

A.180    B.210    C.210x¹³    D. 180x³

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

+ Với 0≤q≤p≤10 thì số hạng tổng quát của khai triển (x+x²+x³)¹⁰ là:

Ví dụ 13: Tìm hệ số chứa x¹⁰ trong khai triển (1+ x+ x² + x³)⁵

A.98    B.84    C.101    D.121

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số hạng không chứa x trong khai triển là

Lời giải:

Đáp án : B

Ta có số hạng thứ k+ 1 là :

Số hạng không chứa x tương ứng với: (60-5k)/6=0

⇔ 60 – 5k= 0 ⇔ k= 12.

Do vậy số hạng cần tìm là:

Câu 2: Trong khai triển ( x - y)¹¹, hệ số của số hạng chứa x⁸y³ là:

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 3: Trong khai triển nhị thức (2+ x)6 xét các khẳng định sau:

I. Gồm có 7 số hạng.

II. Số hạng thứ 3 là 16x.

III. Hệ số của x5 là 12.

Trong các khẳng định trên

A. Chỉ I và III đúng

B. Chỉ II và III đúng

C. Chỉ I và II đúng

D. Cả ba đúng

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 4: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển .

A.37    B.38    C.36    D.39

Lời giải:

Đáp án : B

⇒ k= 8t ( với t nguyên)

Lại có: 0≤k≤300 nên 0≤8t≤300

⇔ 0≤t≤37,5. Mà t nguyên nên t ∈ {0,1,2,3..., 37}.

Có 38 giá trị nguyên của t thỏa mãn. Suy ra có 38 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Có 38 số hạng hữu tỉ trong khai triển đã cho.

Câu 5: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = ( x+1)⁶ +(x+ 1)⁷ + ( x+ 1)⁸ + ..+ (x+ 1)¹² .

A.1711    B.1287    C.1716    D.1715

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 6: Tìm hệ số chứa x¹² trong khai triển ( 3x+ x²)¹⁰

A.145654    B.298645    C.295245    D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng thứ k+ 1 trong khai triển là:

Câu 7: Khai triển đa thức P(x) = (5x - 1)²⁰⁰³ ta được :

P(x)= a₂₀₀₃.x²⁰⁰³ + a₂₀₀₂.x²⁰⁰² + ...+ a₁x+ a₀.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án : C

Câu 8: Tìm hệ số chứa x⁴ trong khai triển (2x+ 1/2x)¹⁰

A.1960    B.1920    C.1864    D.1680

Lời giải:

Đáp án : B

Câu 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ( xy²- 1/xy)⁸

A.70y⁴ B.25y⁴ C.50y⁵ D.80y⁴

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Số hạng không chứa x ứng với: 8 - 2k=0 ⇔ k= 4

⇒ số hạng cần tìm

Câu 10: Tìm số hạng đứng vị trí chính giữa trong khai triển: ( x²+ xy)²⁰

Lời giải:

Đáp án : D

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Câu 11: Khai triển đa thức: P(x)= ( 2 x- 1)¹⁰⁰⁰ ta được:

P(x)= a₁₀₀₀x¹⁰⁰⁰ + a₉₉₉x⁹⁹⁹+ ....+ a₁x+ a₀ .Tính a₁₀₀₀ + a₉₉₉ + ...+ a₁ + a₀ ?

A.-1    B.0    C.2    D.1

Lời giải:

Đáp án : D

Ta có: (x) = a₁₀₀₀x¹⁰⁰⁰ + a₉₉₉x⁹⁹⁹+ ....+ a₁x+ a₀

Cho x = 1 ta được P(1) = a₁₀₀₀ + a₉₉₉ + a₉₉₈ + ...+ a₁+ a₀ (1)

Mặt khác: P(x) = ( 2x-1)¹⁰⁰⁰ nên P(1)= (2.1 – 1)¹⁰⁰⁰ = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a₁₀₀₀ + a₉₉₉ + a₉₉₈ + ...+ a₁+ a₀ = 1

Câu 12: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = x.(2+ x)⁵ + x²( 1 + x )¹⁰

A.110    B.120    C.130    D.140

Lời giải:

Đáp án : C

Câu 13: Số hạng không chứa x trong khai triển (x² + 1/x - 1)¹⁰ là

A.1951    B.1950    C.3150    D.-360

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 14: Số hạng chứa x⁸ trong khai triển (x³ - x² -1)⁸ là

A.168x⁸    B.168    C.238x⁸    D.238

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 15: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x)= (1+ x)+ 2(1+x)² + ...+ 8(1+x)⁸

A.487    B.636    C.742    D.568

Lời giải:

Đáp án : B

Các biểu thức ( 1 + x ) ; 2( 1 + x )² ; 3(1+x)³ ; 4(1+ x)⁴ không chứa số hạng chứa x⁵

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5(1+x)⁵ là

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6(1+x)⁶ là

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7(1+x)⁷ là

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8(1+ x)⁸ là

Vậy hệ số của x₅ trong khai triển P(x) là :

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Tìm số hạng chứa x^a trong khai triển đa thức P (cực hay có lời giải)
• Cách tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (cực hay có lời giải)
• Bài tập về nhị thức Newton nâng cao (cực hay có lời giải)
• Cách xác định phép thử, không gian mẫu (cực hay có lời giải)
• Cách tìm xác suất của biến cố (cực hay có lời giải)
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số (cực hay có lời giải)

---