Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số.

Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Cho phép thử T có không gian mẫu Ω và A là một biến cố liên quan với phép thử T.

Để tính được xác suất của biến cố A ta cần xác định:

   + Số phần tử của không gian mẫu.

   + Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là |Ω_A |

⇒ P(A)= |Ω_A |/|Ω|

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Bạn Mạnh chọn một số tự nhiên x bất kì thỏa mãn: 300< x< 1000. Tính xác suất bạn Mạnh chọn được số chia hết cho 5.

A.139/699    B.176/349    C. 138/349    D.138/699

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi A là biến cố bạn Mạnh chọn được số chia hết cho 5.

- Không gian mẫu: Ω= {301, 302, 303,...,999}.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω)= 699

- Các số tự nhiên x thỏa mãn 300<x<1000 và chia hết cho 5 là:

x∈ { 305;310; 315;...;995}

⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là: n( A) = 139 số

Xác suất của biến cố A là: P(A)= 139/699

Ví dụ 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

A.10/21    B.8/21    C.3/5    D.2/5

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 9.8.7.6.5.4= 60480 .

Gọi A là biến cố số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

- Sáu chữ số 1; 3; 5; 2; 4; 6 lập được 6! số thỏa mãn.

Tương tự như vậy đối với (1,3,5,2,4,8); ( 1,3,5,2,6,8); ( 1,3,5,4,6,8) .

Như vậy với những số có 6 chữ số luôn có 1; 3; 5 thì có 6!.4 số thỏa mãn.

- Tương tự với (1,3,7); (1,3,9); (1,5,7); (1,5,9); (1,7,9); (3,5,7); (3,5,9); (3,7,9); (5,7,9).

Do đó; số kết quả thuận lợi cho A là: n(A)= 6!. 4.10= 28800.

Xác suất cần tìm là P(A)= 28800/(60480 )= 10/21.

Ví dụ 3: Cho X là tập hợp gồm 6 số tự nhiên lẻ và 4 số tự nhiên chẵn. Chọn ngẫu nhiên từ tập X ba số tự nhiên. Tính xác suất chọn được ba số tự nhiên có tích là một số chẵn.

A.5/6    B.2/5    C.1/7    D.1/4

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi A là biến cố chọn được 3 số có tích là một số chẵn.

- Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)=

- Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A:

   + Chọn 3 số tự nhiên chẵn có :

   + Chọn 2 số tự nhiên chẵn và 1 số tự nhiên lẻ có :

   + Chọn 1 số tự nhiên chẵn và 2 số tự nhiên lẻ có :

Xác suất cần tìm là :

Ví dụ 4: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.

A.0,1    B.48/335    C.13/65    D.99/667

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

Gọi A là biến cố chọn 10 thẻ có 5 tấm thẻ mang số lẻ; 5 tấm thẻ mang số chẵn và có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10. Ta tính số kết quả thuận lợi cho A.

+ Chọn 5 số lẻ có :

+ Có 3 số chia hết cho 10 là 10; 20; 30, chọn 1 số tự 3 số này có :

+ Chọn 4 số chẵn trong 12 số chẵn còn lại ( không tính 10,20,30)

Xác suất cần tìm là:

Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên có không quá hai chữ số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4.

A.0,1    B.0,2    C.0,75    D 0,25

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

- Không gian mẫu là Ω = {0,1,2,...,99}

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 100

Gọi A là biến cố chọn được số tự nhiên có không quá hai chữ số và chia hết cho 4.

Các kết quả thuận lợi cho A: Ω_A = {0,4,8,...;96}

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A)= 25 số

Do đó xác suất của biến cố A là: P(A) = 25/100 = 1/4

Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là

A.643/4500     B.1293/45000    C.1285/90000    D.19/45000

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

+ Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 9.10⁴

( chữ số hàng chục nghìn có 9 cách chọn; chữ số hàng nghìn; hàng trăm; hàng chục và hàng đơn vị có 10 cách chọn).

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 9.10⁴.

+ Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd1

Ta có: abcd1=10.abcd+1=3.abcd+7.abcd+1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi:

3.abcd+1⋮7

+ Đặt 3.abcd+1=7h hay abcd=2h+ (h-1)/3 là số nguyên khi và chỉ khi h = 3t+1(t∈N).

Khi đó: abcd=7t+2 ⇒1000≤7t+2≤9999

⇔ (998/7) ≤ t ≤ (9997/7) mà t nguyên nên t∈ {143,144,..., 1428} có 1286 số.

Suy ra số cách chọn t sao cho số abcd1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286 số.

⇒ n(A) = 1286

Vậy xác suất cần tìm P=1286/9000= 643/4500

Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ S .Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là

A. P=13/68    B. P=55/68    C. P=68/81    D. P=13/81

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Số có 4 chữ số có dạng abcd

Số phần tử của không gian mẫu: n(S)=9.9.8.7=4536.

Gọi A: “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500.”

Trường Hợp 1: a>2

Chọn a: có 7 cách chọn.

Chọn b: có 9 cách chọn.

Chọn c: có 8 cách chọn.

Chọn d: có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có:7.9.8.7=3528 .

Trường Hợp 2: a=3; b>5

Chọn a: có 1 cách chọn.

Chọn b: có 4 cách chọn.

Chọn c: có 8cách chọn.

Chọn d: có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có: 1.4.8.7=224(số).

Trường Hợp 3: a=2; b=5; c>0

Chọn a: có 1 cách chọn.

Chọn b: có1 cách chọn.

Chọn c: có 7 cách chọn.

Chọn d: có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có: 1.1.7.7=49(số).

Trường Hợp 4: a=2; b=5; c=0 ;d>0

Chọn a: có 1 cách chọn.

Chọn b: có 1 cách chọn.

Chọn c: có 1 cách chọn.

Chọn d: có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có: 1.1.1.7=7(số).

Như vậy: n(A)=3528+224+49+7=3808

Xác suất biến cố A là: P(A)= 3508/4536= 68/81.

Ví dụ 8: Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5}. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau đươc lập từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S; tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.

A.1/5    B.23/25     C.2.25     D. tất cả sai

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

- Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc

Khi đó :

   + Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn

   + Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b≠a.

   + Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c≠a; c≠b.

Do đó tập S có 5.5.4=100 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

- Gọi X là biến cố Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu .

Khi đó ta có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.

Suy ra số phần tử của biến cố X là |Ω_x|=8.

Vậy xác suất cần tính P(X)=(|Ω_X|)/(|Ω|)=8/100=2/25.

Ví dụ 9: Gọi A là tập các số có 6 chữ số khác nhau được tạo ra từ các số . Từ A chọn ngẫu nhiên một số, xác suất số đó có số 3 và 4 đứng cạnh nhau là:

A.8/25    B.4/15    C.4/25    D.2/15

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 6 chữ số khác nhau được tạo ra từ các số {0,1,2,3,4,5} là

Khi đó; a1 có 5 cách chọn; a2 có 5 cách chọn; a3có 4 cách chọn...a₆ có 1 cách chọn

⇒Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 5.5.4.3.2.1= 6000 số.

Gọi X là biến cố Số chọn ra là số có hai chữ số 3, 4 đứng cạnh nhau

Vì hai số 3, 4 đứng cạnh nhau nên ta coi nó là một phần tử. Do đó, số cần tìm sẽ là số được lập từ tập hợp các chữ số 0, 1, 2, x, 5 với x=34 hoặc x=43.

Gọi số có 5 chữ số được tạo từ 0,1,2,x,5 là abcde

Có 4 cách chọn a; 4 cách chọn b; 3 cách chọn c; 2 cách chọn d và 1 cách chọn e. Hoán đổi vị trí của 34 và 43: 2 cách

⇒ số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 4.4.3.2.1.2= 192 .

Vậy xác suất cần tính là P=192/600= 8/25.

Ví dụ 10: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S; tính xác xuất để chọn được một số có 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ?

A.49/54    B.5/54    C.45/54    D.Tất cả sai

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất để số được chọn có hai chữ số giống nhau.

A.0,2    B.0,1    C.0,3    D.0,4

Lời giải:

Đáp án : B

Không gian mẫu là Ω = {10,11,12,...,99}

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 90

Các số có 2 chữ số giống nhau là 11,22,33,44..,88,99

⇒ Có 9 số có hai chữ số giống nhau

Do đó xác suất để số được chọn có hai chữ số giống nhau là: 9/90=0,1

Câu 2: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5.

A.0,4    B.3/5    C.11/36    D.1/4

Lời giải:

Đáp án : C

+ Ta tính số các số có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6:

Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn có cách chọn chữ số hàng trăm; hàng chục và hàng đơn vị.

⇒ có 6. số có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số đã cho.

Do đó; số phần tử của không gian mẫu là: 6.

+ Gọi B là biến cố số được chọn là số chia hết cho 5.

+ Gọi số chia hết cho 5 đó là abcd. Các kết quả thuận lợi cho biến cố B:

Trường hợp 1: d = 0 chọn abc có cách chọn nên có cách chọn

Trường hợp 2: d = 5 chọn a có 5 cách chọn, chọn bc có cách chọn nên có cách chọn

Suy ra; số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n(B)=+5. = 220

Xác suất của biến cố B là:

Câu 3: Chọn ngẫu nhiên 6 số nguyên dương trong tập{1;2;3..,10} và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Gọi P là xác suất để số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2. Khi đó P bằng:

A.5/8    B.1/3    C.1/4    D. 3/5

Lời giải:

Đáp án : B

Số phần tử của không gian mẫu là

( chú ý: Khi chọn được 6 số thì chỉ có 1 cách duy nhất xếp 6số đó theo thứ tự tăng dần)

Gọi A là biến cố: “số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2”.

Trong tập đã cho có 2 số nhỏ hơn số 3, có 7 số lớn hơn số 3.

+ Chọn 1 số nhỏ hơn số 3 ở vị trí đầu có: 2 cách.

+ Chọn số 3 ở vị trí thứ hai có: 1 cách.

+ Chọn 4 số lớn hơn 3 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần có:

Do đó n(A)=2.1.35=70.

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A)= 70/210= 1/3.

Câu 4: Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số là số lẻ?

A.2/5    B.16/35    C.3/7    D.4/9

Lời giải:

Đáp án : B

+ Ta tính số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7

Có A⁴₇ = 840 số

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 840.

+ Bốn chữ số 1; 2; 3; 5 lập được 4! = 24 số có 4 chữ số và có tổng các chữ số là số lẻ.

Tương tự như vậy đối với:

Xác suất cần tìm là: P= 24.16/840= 16/35 .

Câu 5: Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng

A.1/2    B.1/3    C.2/3    D.1/6

Lời giải:

Đáp án : B

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde.

   + Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có =10 cách.

   + Còn lại hai vị trí, chọn 2 số trong 4 số {1,2,4,5}xếp vào hai vị trí đó, có =12 cách.

Do đó tập S có 10.12= 120 phần tử.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 120

Gọi A là biến cố số được chọn chia hết cho 3.

Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A:

   + Hai chữ số còn lại là 1 và 2, có .2!=20 số.

   + Tương tự cho các trường hợp 1 và 5; 2 và 4; 4 và 5.

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A: n(A)= 20+ 20+ 20+ 20 = 80

Xác suất của biến cố A là: P(A) = 80/120= 1/3

Câu 6: Cho tập hợp A= {0,1,2,3,4,5,6}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ A, xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng?

A.1/4    B.2/9    C.9/26    D.11/26

Lời giải:

Đáp án : C

Gọi số thuộc tập S có dạng abcde

Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5, bốn chữ số còn lại có cách chọn nên có 5. số luôn có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên).

Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5, ba chữ số còn lại có cách chọn nên có 4 số.

Do đó tập S có 5-4=1560 phần tử.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 1560

- Gọi B là biến cố chọn ngẫu nhiên một số từ A và số đó chia hết cho 5. Các kết quả thuận lợi cho A:

    + e = 0. Khi đó a có 4 cách chọn vị trí cho số 5, ba số còn lại có cách nên có 4. số.

    + e = 5. Khi đó a có 5 cách chọn; b,c,d có cách chọn nên có 5. số.

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho B là: n(B)= 4+5.

⇒ P(B)=

Câu 7: Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, xác suất để số được chọn chia hết cho 6 bằng:

A.1/9    B.4/9    C.4/27    D.9/28

Lời giải:

Đáp án : C

Tập S có 94 phần tử.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 94.

Gọi B là biến cố chọn được số chia hết cho 6.

Gọi số thỏa mãn biến cố là abcd,

Do abcd⋮6 nên abcd⋮2

Suy ra d∈ {2,4,6,8} có 4 cách chọn d. Khi đó; a và b có 9² cách chọn.

+ Nếu a + b + d= 3k ⇒ c∈ {3,6,9} nên c có 3 cách chọn.

+ Nếu a+ b + d= 3k+ 1 ⇒ c ∈ { 2,5,8}nên c có 3 cách chọn.

+ Nếu a+ b+ d= 3k+2 ⇒c ∈ { 1,4,7}nên c có 3 cách chọn.

Vậy c luôn luôn có 3 cách chọn nên n(B)= 4.9².3= 972

Xác suất của biến cố B là: P(B)= 972/9⁴ = 4/27

Câu 8: Gọi tập A là tập các số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số {1,2,3,4,5,6}. Từ A chọn ra một số, xác suất số đó bé hơn 432 000 là:

A.17/30    B.17/40    C.23/40    D.13/30

Lời giải:

Đáp án : C

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 6!= 720.

Gọi X là biến cố Số chọn ra bé hơn 432 000

Gọi số cần tìm có dạng abcdef, vì abcdef < 432 000 nên ta xét các trường hợp:

Trường Hợp 1. Nếu a∈ {1,2,3} và sắp xếp 5 số còn lại vào 5 vị trí nên có 3.5! = 360 số.

Trường Hợp 2. Nếu a = 4, ta đi xét hai trường hợp:

   + b= 3 thì c= 1 suy ra có 3!= 6 số.

   + b<3 ⇒ b∈ {1,2} và sắp xếp 4 số còn lại vào 4 vị trí nên có 2.4!= 48 số.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 360+ 6+ 48= 414.

Vậy xác suất cần tính là P= 414/720= 23/40

Câu 9: Cho tập A={2;3;4;5;6;7;8}. Gọi S là tập hợp tất cả các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn mà trong mỗi số luôn có mặt 2 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?

A.0,2    B.3/35    C.6/35    D.18/35

Lời giải:

Đáp án : D

Số phần tử của tập S là

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

Gọi X là biến cố Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ .

   + Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2;4;6;8 là

   + Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ s 3;5;7 là

   + Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là

Vậy xác suất cần tính :

Câu 10: Cho tập A={1;2;3;4;5}; gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số tập A. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S; tính xác xuất để số dược chọn chia hết cho 10?

A.1/30    B.3/25    C.22/25    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án : B

Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:

   + Số các số thuộc S có 3 chữ số là

   + Số các số thuộc S có 4 chữ số là

   + Số các số thuộc S có 5 chữ số là

Suy ra số phần tử của tập S là

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

Gọi X là biến cố Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . Các tập con của A có tổng số phần tử bằng 10 là A₁={1;2;3;4}, A₂={2;3;5},.

   + Từ A1 lập được các số thuộc S là 4!

   + Từ A2 lập được các số thuộc S là3!.

   + Từ A3 lập được các số thuộc S là 3!.

Suy ra số phần tử của biến cố X là |Ω_x|=4!+3!+3!=36

Vậy xác suất cần tính

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm xác suất của biến cố (cực hay có lời giải)
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến hình học (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài tập Xác suất nâng cao, (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Quy tắc cộng xác suất (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Biến cố đối (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Quy tắc nhân xác suất (cực hay có lời giải)

---