Phương pháp giải bài tập Biến cố đối (cực hay có lời giải)

Bài viết Phương pháp giải bài tập Biến cố đối với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải bài tập Biến cố đối.

Phương pháp giải bài tập Biến cố đối (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

+ Cho A là một biến cố. Khi đó, biến cố “ không xảy ra A”, kí hiệu là A, được gọi là biến cố đối của A.

+ Định lí: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối Alà:

P(A)=1-P(A)

+ Nếu hai biến cố A và A đối nhau thì n(A)+ n(A)= n(Ω)

Chú ý: Hai biến cố đối là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên; hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?

A.1/3    B.11/36    C.1/6    D.2/9

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 6.6= 36

Gọi A là biến cố: “ Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.

Để tìm số phần tử của biến cố A, ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A là “không xuất hiện mặt sáu chấm”

⇒ n(A)= 5.5= 25

⇒ n(A)= 36- 25= 11

Vậy xác suất cần tính P(A) = 11/36.

Ví dụ 2: Một chi đoàn có 40 người, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Ban chấp hành cần chọn ra 3 người để bầu vào các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư 2. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào?

A.1/65    B.59/65     C.61/65    D.64/65

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ta có số phần tử của không gian mẫu:

Gọi A là biến cố 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào.

⇒ Biến cố đối A: 3 người được chọn có 1 cặp vợ chồng

Ta tính số phần tử của biến cố A:

+ Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp có:

+ Chọn 1 người trong 38 người còn lại:

+ Từ 3 người vừa chọn bầu vào 3 chức vụ: có 3! Cách.

Xác suất biến cố A là:

P(A) = 58368/59280 = 64/65

Ví dụ 3: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.

A.810/1033    B.810/1001    C.170/792    D.37/666

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

+ Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là = 3003

+ Gọi A là biến cố 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu . Để tìm số phần tử của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:

Trường hợp 1. Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).

Do đó trường hợp này có

Trường hợp 2.

Suy ra số phần tử của biến cố A là |Ω_A|=1+572=573.

Suy ra số phần tử của biến cố A là |Ω_A|= 3003-573=2430

Vậy xác suất cần tính P(A)=(|Ω_A |)/(|Ω|)=2430/3003=810/1001.

Ví dụ 4: Một hộp quà đựng 16 dây buộc tóc cùng chất liệu, cùng kiểu dáng nhưng khác nhau về màu sắc. Cụ thể trong hộp có 8 dây xanh, 5 dây đỏ, và 3 dây vàng. Bạn An được chọn ngẫu nhiên 6 dây từ hộp quà để làm phần thưởng cho mình. Tính xác suất để trong 6 dây bạn An chọn có ít nhất 1 dây vàng và không quá 4 dây đỏ.

A.8005/8008    B.11/14    C.6289/8008    D.1719/8008

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Chọn ngẫu nhiên 6 dây từ 16 dây thì số cách chọn là :

Gọi A là biến cố “ 6 dây bạn An chọn có ít nhất 1 dây vàng và không quá 4 dây đỏ”.

⇒ Biến cố đối A: 6 dây bạn An chọn có nhiều nhất 1 dây vàng và không ít hơn 5 dây đỏ.

Ví dụ 5: Một trường THPT có 18 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ 18 học sinh trên để đi dự trại hè. Tính xác suất để mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.

A.212/221    B.9/221    C.59/1326    D.1267/1326.

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Ví dụ 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.

A.5/8    B.59/60    C.6/59    D.5/6

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

+ Số phần tử không gian mẫu là n(Ω)= 5!= 120

+ Gọi A là biến cố “số tìm được không bắt đầu bởi 135”.

⇒ biến cố đối A là biến cố “số tìm được bắt đầu bởi 135”

+ Ta tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố đối:

Buộc các số 135 lại thì ta còn 3 phần tử. Số các số tạo thành thỏa mãn số 135 đứng đầu là: 1.2.1= 2 cách

⇒ Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A)= 120- 2= 118

Xác suất của biến cố A là: P(A)= 118/120= 59/60

Ví dụ 7: Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 biên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1viên màu đỏ.

A.1/2    B.418/455    C.1/13    D.12/13

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

+ Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là:

⇒ n(Ω)= 455.

+ Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ”

⇒ biến cố đối A : “ cả ba viên bi lấy ra đều không có màu đỏ” ( tức là lấy ra cả ba viên bi đều màu xanh”

Số cách chọn ra 3 viên bi mà 3 viên bi đó đều màu xanh là :

⇒ n(A)= 35.

Số cách chọn ra 3 viên bi mà trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ là 455-35= 420 cách

⇒ n(A)= 420

Xác suất của biến cố A là: P(A) = 420/455 = 12/13

Ví dụ 8: Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc thẻ, tính xác suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5.

A.8/15    B.7/15     C.2/5    D.3/5

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

+ Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ 10 chiếc thẻ.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố “ 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5”.

Để cho biến cố A xảy ra thì trong 3 thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số 0 hoặc chữ số 5.

Ta đi tìm số phần tử của biến cố A, tức 3 thẻ lấy ra không có thẻ mang chữ số 0 và cũng không có thẻ mang chữ số 5 là

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là

A.72/1140    B.89/95    C.3/20    D.1/5

Lời giải:

Đáp án : B

+ Số phần tử của không mẫu là:

+ Gọi A là biến cố 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào.

⇒ A là biến cố 3 người được chọn có 1 cặp vợ chồng .

Ta tính số kết quả thuận lợi cho A.

Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng có 4 cách

Chọn 1 người trong 18 người còn lại có 18 cách.

=> Số kết quả thuận lợi cho biến cố A:n(A)=4.18=72

Câu 2: Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu.

A.2808/7315    B.185/209    C.24/209    D.319/418

Lời giải:

Đáp án : B

+ Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

+ Gọi A là biến cố: “ Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu .

Để tìm số phần tử của A, ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A, với biến cố đối A là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.

Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A)=

Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A) = 7315- 840 = 6475.

Vậy xác suất cần tính: P(A) = 6475/7315 = 185/209.

Câu 3: Trong đợt thi học sinh giỏi trường THPT A, môn Toán có 5 em đạt giải trong đó có 4 nam và 1 nữ, môn Văn có 5 em đạt giải trong đó có 1 nam và 4 nữ, môn Hóa học có 5 em đạt giải trong đó có 2 nam và 3 nữ, môn Vật lí có 5 em đạt giải trong đó có 3 nam và 2 nữ. Nhà trường chọn mỗi môn một em học sinh để đi dự đại hội thi đua? Tính xác suất để có cả học sinh nam và nữ để đi dự đại hội?

A.577/625    B.4/5     C.3/4    D.113/125

Lời giải:

Đáp án : A

+ Gọi A là biến cố xảy ra mỗi môn một em dự thi có cả nam và nữ.

⇒ Biến cố đối A: chỉ có học sinh nam hoặc chỉ có học sinh nữ đi dự đại hội.

Số phần tử của không gian mẫu:

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho biến cố đối A

⇒ Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối A:n(A)= 24+ 24= 48

⇒ Số cách chọn mỗi môn một em có cả nam và nữ là:A

n(A) = n(Ω)- n(A)= 625- 48=577.

Xác suất cần tìm là: P(A)= 577/625

Câu 4: Lớp 11 A2 có 15 học sinh giỏi trong đó có 9 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 3 bạn để đi dự đại hội. Tính xác suất để trong 3 bạn được chọn có ít nhất một bạn nữ.

A.25/91     B.46/91     C.87/91     D.62/91

Lời giải:

Đáp án : C

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố trong 3 bạn được chọn có ít nhất một bạn nữ.

⇒ Biến cố đối A:trong3 bạn được chọn không có bạn nữ nào cả.

+ Ta tính xác suất P(A).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối A:

⇒ xác suất của biến cố đối: P(A)= = 4/91

⇒ Xác suất của biến cố A: P(A) = 1- 4/91= 87/91

Câu 5: Cho tập A= {1; 2; 3; 4; 5;6}. Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ tập A. Chọn ngẫu nhiên 1 số; tính xác suất để số được chọn có hai chữ số tận cùng không phải là 23.

A.7/10    B.29/30    C.7/15    D.21/35

Lời giải:

Đáp án : B

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố số được chọn có hai chữ số tận cùng không phải là 23.

⇒ Biến cố đối A chọn được số có hai chữ số tận cùng là 23. Ta tính số kết quả thuận lợi cho A:

Gọi số cần tìm có dạng ab23.

Ta có 4 cách chọn a và 3 cách chọn b.

⇒ n(A)=4.3=12 số.

Xác suất của biến cố đối A: P(A) = 12/360 = 1/30

⇒xác suất của biến cố A là: P(A)= 1- P(A) = 29/30

Câu 6: Một hộp có 8 bi trắng và 7 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.Tính xác suất để trong 3 viên bi được chọn có ít nhất 1 bi đỏ?

A.319/455    B.281/455    C.179/455    D.399/455

Lời giải:

Đáp án : D

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố trong 3 bi được chọn có ít nhất 1 bi đỏ

⇒ Biến cố đối A 3 bi được chọn đều là màu trắng.

Số kết quả thuận lợi cho A:

⇒ Xác suất của biến cố đối A:P(A ) = 56/455

Suy ra xác suất của biến cố A là:

P(A)= 1- P(A)= 1 - 56/455 = 399/455

Câu 7: Gọi S là tập các số tự nhiên có hai chữ số. Từ tập S chọn ra 3 số bất kì. Tính xác suất để trong 3 số được chọn có ít nhất một số chia hết cho 5.

A.471/979    B.387/979    C.482/979    D.286/979

Lời giải:

Đáp án : C

+ Tập S= { 10; 11; 12; ..; 99} có 90 số.

Các số chia hết cho 5 mà thuộc tập S là: {10; 15; 20; ..95} có 18 số.

⇒ có 90-18= 72 số không chia hết cho 5 từ tập S.

+ Số phần tử của không gian mẫu là

+ Gọi A là biến cố trong 3 số được chọn có ít nhất một số chia hết cho 5.

⇒ Biến cố đối A: trong 3 số được chọn không có số nào chia hết cho 5.

Sô kết quả thuận lợi cho A:

⇒ Xác suất của biến cố đối A là:

⇒ Xác suất của biến cố A là:

P(A)= 1 -P(A )= 482/979

Câu 8: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.

A.810/1001     B.191/1001     C.4/21    D.17/21

Lời giải:

Đáp án : A

+ Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là :

+ Gọi A là biến cố: “ 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu”.

Để tìm số phần tử của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:

Trường Hợp 1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).

Do đó trường hợp này có

Trường Hợp 2:

Suy ra số phần tử của biến cố A là: n(A)=1+572=573

Suy ra số phần tử của biến cố A là: n(A)= 3003- 573= 2430

Vậy xác suất cần tính P(A)= 2430/3003 = 810/1001

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Bài 2. Trong một túi có 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ, lấy ngẫu nhiên từ đó ra 2 viên bi. Khi đó xác suất để lấy được ít nhất một viên bi xanh là bao nhiêu?

Bài 3. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu.

Bài 4. Cho hai biến cố A và B. biết P(A) = 0,21; P(B) = 0,11 và P(A ∪ B) = 0,3. Hỏi A và B có phải là hai biến cố xung khắc không?

Bài 5. Một hộp có 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Xét hai biến cố: Biến cố A “Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh” và biến cố B “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ”.

a) Hai biến cố đối nhau xung khắc với không?

b) Hai biến cố xung khắc có phải là hai biến cố đối nhau không?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm xác suất của biến cố (cực hay có lời giải)
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số (cực hay có lời giải)
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến hình học (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài tập Xác suất nâng cao, (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Quy tắc cộng xác suất (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Quy tắc nhân xác suất (cực hay có lời giải)

---