Tính chất của căn bậc n lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất của căn bậc n lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của căn bậc n.

Tính chất của căn bậc n lớp 11 (chi tiết nhất)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

1. Tính chất của căn bậc n

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab};\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}};{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m};\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

2. Ví dụ về tính chất của căn bậc n

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{16}.\sqrt[5]{2}$ .

b) $\sqrt[3]{54}:\sqrt[3]{-2}$

c) ${\left(\sqrt[3]{-7\sqrt{7}}\right)}^2$ .

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[5]{16}.\sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{2^4.2}=\sqrt[5]{2^5}=2$ .

b) $\sqrt[3]{54}:\sqrt[3]{-2}=\sqrt[3]{54:\left(-2\right)}=\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{{\left(-3\right)}^3}=-3$ .

c) ${\left(\sqrt[3]{-7\sqrt{7}}\right)}^2={\left(\sqrt[3]{{\left(-\sqrt{7}\right)}^3}\right)}^2={\left(-\sqrt{7}\right)}^2=7$ .

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a)$\sqrt[3]{64x^{12}{y}^9}$ .

b) $\sqrt[5]{\frac{1}{64}{x}^4}\cdot \sqrt[5]{2x^6}$ .

c) $2x{y}^2-\sqrt{81x^2{y}^4}-\sqrt[5]{\frac{1}{32}{x}^5{y}^{10}}$ (x > 0).

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{64x^{12}{y}^9}=\sqrt[3]{{\left(4x^4{y}^3\right)}^3}=4x^4{y}^3$ .

b) $\sqrt[5]{\frac{1}{64}{x}^4}\cdot \sqrt[5]{2x^6}=\sqrt[5]{\frac{1}{64}{x}^4\cdot 2x^6}=\sqrt[5]{\frac{1}{32}{x}^{10}}=\sqrt[5]{{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^5}=\frac{1}{2}{x}^2$ .

c) $2x{y}^2-\sqrt{81x^2{y}^4}-\sqrt[5]{\frac{1}{32}{x}^5{y}^{10}}$

$=2x{y}^2-\sqrt{{\left(9x{y}^2\right)}^2}-\sqrt[5]{{\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)}^5}$

= 2xy² – 9xy² – $\frac{1}{2}$ xy² =$\frac{-15}{2}$ xy²

Ví dụ 3. Điền dấu vào … để được đáp án đúng:

a) $\sqrt[3]{x^6{y}^3{z}^9}$ = $x\sqrt{\mathrm{...}}$ (với x, y, z > 0).

b)$\frac{\sqrt[5]{x^6{y}^9{z}^{10}}}{\sqrt[5]{x{y}^4{z}^5}}={\left(\sqrt[3]{xyz}\right)}^{\mathrm{...}}$ (với x, y, z ≠ 0).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:$\sqrt[3]{x^6{y}^3{z}^9}=\sqrt[3]{{\left(x^{2}y{z}^3\right)}^3}=x^{2}y{z}^3=x\sqrt{x^2{y}^2{z}^6}$ .

b) $\frac{\sqrt[5]{x^6{y}^9{z}^{10}}}{\sqrt[5]{x{y}^4{z}^5}}=\sqrt[5]{\frac{x^6{y}^9{z}^{10}}{x{y}^4{z}^5}}=\sqrt[5]{x^5{y}^5{z}^5}=\sqrt[5]{{\left(xyz\right)}^5}=xyz={\left(\sqrt[3]{xyz}\right)}^3$ .

3. Bài tập về tính chất của căn bậc n

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{160}-7\sqrt[5]{5}$ .

b) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{64}}+6\sqrt[4]{4}$ .

c) $\sqrt[3]{6}.\left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{11}\right)-6\sqrt{\sqrt[3]{144}}+\frac{\sqrt[3]{198}}{\sqrt[3]{3}}$ .

Bài 2. Chứng minh rằng:

a) $\sqrt{7+2\sqrt{6}}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}=2$ .

b) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2$

Bài 3. Cho a, b là các số dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{{\left(\sqrt[6]{a^2{b}^3}\right)}^6}{\sqrt{\sqrt[3]{a^{18}{b}^{12}}}}$

b) $\sqrt{a^2\sqrt{a^3\sqrt{a}}}.$

c) $\frac{5\sqrt[3]{4a^{11}}\sqrt[3]{2b^7}}{{\left(\sqrt[3]{a^2.b}\right)}^4}$ .

Bài 4. So sánh a và b, biết rằng:

a) $a=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt[4]{16}$và $b=\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}$ .

b) $a=\sqrt{\sqrt[5]{1024}}$ và $b={\left(\frac{\sqrt[5]{972}}{\sqrt[5]{4}}\right)}^2$ .

Bài 5. Tìm x, biết rằng:

a) $\sqrt[4]{4x+5}=2$ .

b) $\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8}=5$ .

c) $\sqrt[6]{2x-7}>\frac{1}{2}$ .

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Căn bậc n là gì

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì

• Lũy thừa với số mũ thực là gì

• Tính lũy thừa với số mũ thực bằng MTCT

• Quy tắc tính logarit

• Logarit thập phân là gì

---