Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$ , trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương. Lũy thừa của a với số mũ r, kí hiệu là a^r, xác định bởi

a^r = $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ .

Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

2. Ví dụ về lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=2^{\frac{1}{3}}.\sqrt[3]{4}+\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$

b) $B=\sqrt[7]{3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{5}}}$

c) $C=8^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{81}\right)}^{-0,75}-{25}^{0,5}+{\left(\sqrt{4}\right)}^0$ .

Hướng dẫn giải

a) $A=2^{\frac{1}{3}}.\sqrt[3]{4}+\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}=2^{\frac{1}{3}}{.4}^{\frac{1}{3}}+\sqrt[4]{\frac{80}{5}}={\left(2^3\right)}^{\frac{1}{3}}+\sqrt[4]{2^4}=2+2=4$ .

b) $B=\sqrt[7]{3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[7]{3\cdot 3^{-\frac{1}{5}}}={\left(3^{\frac{4}{5}}\right)}^{\frac{1}{7}}=3^{\frac{4}{35}}$ .

c) $C=8^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{1}{81}\right)}^{-0,75}-{25}^{0,5}+{\left(\sqrt{4}\right)}^0$

$={\left(2^3\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(3^{-4}\right)}^{-0,75}-{\left(5^2\right)}^{0,5}+1$

= 2² + 3³ – 5 + 1 = 27

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^2{y}^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{5}{2}}{y}^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ (x, y > 0, x ≠ y).

b) $B=\frac{\sqrt{a^3}.\sqrt[3]{a^4}.\sqrt[4]{a^5}}{{\left(\sqrt[5]{a}\right)}^4.a^{\frac{1}{4}}}$ (a > 0).

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{x^2{y}^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{5}{2}}{y}^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{x^2{y}^2\left(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}=x^2{y}^2$ .

b) $B=\frac{\sqrt{a^3}.\sqrt[3]{a^4}.\sqrt[4]{a^5}}{{\left(\sqrt[5]{a}\right)}^4.a^{\frac{1}{4}}}=\frac{a^{\frac{3}{2}}.a^{\frac{4}{3}}{a}^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{4}{5}}.a^{\frac{1}{4}}}=a^{\frac{91}{30}}$ .

Ví dụ 3. Xác định các số thực a thỏa mãn:

a) $a^{\frac{1}{3}}$> $\sqrt{a}$ .

b) $\sqrt[3]{a^4}$ < $a^{\frac{7}{2}}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ . Vì $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ , mà $a^{\frac{1}{3}}$ > $a^{\frac{1}{2}}$ nên 0 < a < 1.

b) Ta có: $\sqrt[3]{a^4}=a^{\frac{4}{3}}$. Vì $\frac{4}{3}<\frac{7}{2}$ , mà $a^{\frac{4}{3}}$ < $a^{\frac{7}{2}}$ nên a > 1.

3. Bài tập về lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Bài 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa (a > 0).

a) $5.\sqrt{5}.\sqrt[3]{5}.\sqrt[6]{5}$ .

b) $\sqrt{a^2\sqrt{a^5\sqrt{a^{\frac{1}{3}}}}}$ .

c) $\sqrt{a}.\sqrt[3]{a^5}:{\left(\sqrt[6]{a^4}\right)}^3$ .

Bài 2. Cho x, y là các số thực dương và số thực a thỏa mãn:

$a={\left(\sqrt[3]{x^6}+\sqrt[3]{x^4{y}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(\sqrt[3]{y^6}+\sqrt[3]{x^2{y}^4}\right)}^{\frac{1}{2}}$.

Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=0$ .

Bài 3. Cho a, b là các số dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}+a^{\frac{-2}{3}}.a^{\frac{5}{3}}-\frac{a{b}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b}}$ .

b) $\frac{a^{\frac{8}{3}}-a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}-\frac{a^{\frac{4}{3}}+a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}+a^{\frac{2}{3}}}$ (a ≠ 1).

Bài 4. So sánh a và b, biết rằng:

a) $a={\left(\sqrt[3]{4}\right)}^{\frac{1}{2}}$ và $b=\frac{\sqrt[6]{2}}{3^{\frac{1}{6}}}$ .

b) $a=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}}$ và $b={\left(\sqrt[3]{\frac{3}{5}}\right)}^2$ .

Bài 5. Tại một xí nghiệp, công thức P(t) = 600. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{3}}$ được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian t (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.

a) Tính giá trị còn lại của máy sau 3 năm, 3 năm 6 tháng.

b) Sau 2 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tính chất của căn bậc n

• Lũy thừa với số mũ thực là gì

• Tính lũy thừa với số mũ thực bằng MTCT

• Quy tắc tính logarit

• Logarit thập phân là gì

• Số e và logarit tự nhiên là gì

---