13 Bài tập Phương trình mặt phẳng (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Phương trình mặt phẳng (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)?

A. $\overrightarrow{AC}.$

B. $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}.$

C. $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}.$

D. $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\perp \left(ABCD\right)$

Do đó, $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Câu 2. Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. $x^2+2y+z-3=0.$

B. $x^2+y^2+z^2-2=0.$

C. $x^2+2y^2+z-5=0.$

D. $x+2y+z-4=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: $ax+by+cz+d=0$ trong đó a, b, c, d không đồng thời bằng 0.

Do đó, ta chọn D.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $A\left(-1;-1;-1\right).$

B. $B\left(1;1;1\right).$

C. $C\left(1;1;-1\right).$

D. $D\left(-3;0;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, ta có:

Với điểm $A\left(-1;-1;-1\right),$ ta được: $-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)-3=-6\ne 0.$

Do đó, mặt phẳng (P) không đi qua điểm $A\left(-1;-1;-1\right),$

Với điểm $B\left(1;1;1\right)$, ta được: $1+1+1-3=0$.

Do đó, mặt phẳng (P) đi qua điểm $B\left(1;1;1\right)$

Với điểm $C\left(1;1;-1\right),$ ta được: $1+1+\left(-1\right)-3=-2\ne 0.$

Do đó, mặt phẳng (P) không đi qua điểm $C\left(1;1;-1\right),$

Với điểm $D\left(-3;0;0\right)$, ta được: $-3+0+0-3=-6\ne 0.$

Do đó, mặt phẳng (P) không đi qua điểm $D\left(-3;0;0\right)$

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z+1=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

A. $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right).$

B. $\overrightarrow{n}=\left(-2;1;-1\right).$

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;-1\right).$

D. $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z+1=0$ là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right).$

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P)?

A. $P\left(0;2;0\right).$

B. $Q\left(0;0;3\right).$

C. $M\left(1;2;3\right).$

D. $N\left(1;0;0\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy điểm $M\left(1;2;3\right)$ không thuộc mặt phẳng (P) do

$\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}=3\ne 1.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $A\left(2;1;3\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3;-1\right)$ là

A. $2x+3y-z-2=0.$

B. $2x+3y-z+2=0.$

C. $2x-y+3z-2=0.$

D. $2x-y+3z+2=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2\left(x-1\right)+3\left(y-1\right)+\left(-1\right)\left(z-3\right)=0$ hay $2x+3y-z-2=0.$

Câu 7. Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), biết $\overrightarrow{a}=\left(-1;-2;-2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-1;0;-1\right)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P)?

A. $\overrightarrow{n}=\left(2;1;2\right).$

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;-2\right).$

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right).$

D. $\overrightarrow{n}=\left(-2;1;-2\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P) bằng

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-2& -2\\ 0& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ -1& 0\end{array}\right|\right)=\left(2;1;-2\right).$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right).$

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left(3;-2;-2\right), B\left(3;2;0\right)$, $C\left(0;2;1\right)$. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $2x-3y+6z+12=0.$

B. $2x-3y-6z-12=0.$

C. $2x-3y+6z=0.$

D. $2x+3y+6z+12=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(0;4;2\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-3;4;3\right)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ -3& 4\end{array}\right|\right)$ $=\left(4;-6;12\right)=2\left(2;-3;6\right).$

Suy ra $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;6\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$2\left(x-3\right)+\left(-3\right)\left(y-2\right)+6\left(z-0\right)=0$ hay $2x-3y+6z=0.$

Câu 9. Trong không gian OXyz, cho điểm M(1; 2; 3). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục $Ox,Oy,Oz$. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

B. $-\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

C. $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=0.$

D. $\frac{x}{1}-\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục $Ox,Oy,Oz$ nên $A\left(1;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;3\right)$

Lúc này có phương trình mặt phẳng (ABC)  là: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.$

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+my+3z-5=0$ và $\left(Q\right):nx-8y-6z+2=0$ với $m,n\in ℝ$. Xác định m, n để (P) song song với (Q).

A. $m=n=-4.$

B. $m=4;n=-4.$

C. $m=-4;n=4.$

D. $m=n=4.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=\left(2;m;3\right).$

Mặt phẳng (Q) có vectơ phép tuyến $\overrightarrow{n_Q}=\left(n;-8;-6\right).$

Để (P) song song với (Q) thì $\overrightarrow{n_P}=k\overrightarrow{n_Q}\left(k\in ℝ\right)\iff \left\{\begin{array}{l}2=kn\\ m=-8k\\ 3=-6k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ m=4\\ n=-4.\end{array}\right.$

Phần II. Trắc nghiệm đúng - sai

Câu hỏi. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + y – z – 12 = 0.

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;1;-1\right)$.

b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(5; 3; −6).

c) Cho điểm M(a; b; 1) thuộc mặt phẳng (P). Khi đó 3a + b = −13.

d) (P) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oz tại B. Diện tích tam giác OAB bằng 12.

Hiển thị đáp án

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;1;-1\right)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 3.5 + 3 + 6 – 12 ≠ 0. Suy ra A $\notin$ (P).

c) Vì M $\in$ (P) nên 3a + b – 1 – 12 = 0 $\iff$ 3a + b = 13.

d) (P) cắt trục Ox tại A(4; 0; 0), cắt trục Oz tại B(0; 0; −12).

Vì Ox $\perp$ Oz nên $∆$OAB vuông tại O.

Khi đó $S_{\Delta AOB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\mathrm{.4.12}=24$.

Phần III. Trả lời ngắn

Câu 1. Cho điểm A(1; 2; −1) và mặt phẳng (α): x – 2y + 2z + 2 = 0. Mặt phẳng (β): x – by + cz + d = 0 song song với mặt phẳng (α) và cách A một khoảng bằng 1. Tính 3b – c + d.

Hiển thị đáp án

Trả lời: 12.

Vì (β) // (α) nên (β): x – 2y + 2z + d = 0 (d ≠ 2).

Khoảng cách từ M đến (β) bằng 1 nên $\frac{|1-2.2+2\left(-1\right)+d|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}}=1\iff |d-5|=3$

Vậy (β): x – 2y + 2z + 8 = 0. Suy ra b = 2; c = 2; d = 8.

Do đó 3b – c + d = 3.2 – 2 + 8 = 12.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): (m – 1)x + y – 2z + m = 0 và (Q): 2x – z + 3 = 0. Tìm m để (P) vuông góc với (Q).

Hiển thị đáp án

Trả lời: 0.

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\left(m-1;1;-2\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(2;0;-1\right)$.

Để (P) $\perp$ (Q) thì $\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}$$=0$$\iff 2\left(m-1\right)+1.0+\left(-2\right).\left(-1\right)$$=0\iff m-1=-1\iff m=0$.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 4

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---