13 Bài tập Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Phương trình mặt cầu Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Phương trình mặt cầu (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

I. Nhận biết

Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left(x_0;y_0;z_0\right)$ bán kính R có phương trình là:

A. ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

B. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R.$

C. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R^2.$

D. ${\left(x-x_0\right)}^2-{\left(y-y_0\right)}^2-{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

A. $x^2+y^2+z^2-2x=0.$

B. $x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0.$

C. $2x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-z^2+2x+1.$

D. ${\left(x+y\right)}^2=2xy-z^2-1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2.$

Xét các đáp án, chỉ có đáp án A thỏa mãn, đồng thời ta có thể viết lại như sau:

$x^2+y^2+z^2-2x=0$ hay ${\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=1$.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (S): ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$ có tâm là

A. $I\left(1;0;3\right).$

B. $I\left(-1;0;-3\right).$

C. $I\left(1;0;-3\right).$

D. $I\left(1;2;-3\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-\left(-3\right)\right)}^2=4^2$

Do đó, tâm mặt cầu là $I\left(1;0;-3\right).$

Câu 4. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu $S\left(O;R\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $OM<R.$

B. $OM=R.$

C. $OM>R.$

D. $OM\le R.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 5.  Điều kiện đề phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu là

A. $a+b+c-d>0.$

B. $a^2+b^2+c^2+d>0.$

C. $a^2+b^2+c^2-d>0.$

D. $a^2+b^2+c^2-d\ge 0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu có dạng

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $d=a^2+b^2+c^2-R^2.$

Để xác định một mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=a^2+b^2+c^2-d>0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$ và một điểm $M\left(4;2;-2\right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M là tâm của mặt cầu (S).

B. Điểm M nằm trên mặt cầu (S).

C. Điểm M nằm trong mặt cầu (S).

D. Điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$

          ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Do đó, tâm của mặt cầu là $I\left(2;1;-1\right)$

Thay $M\left(4;2;-2\right)$ vào phương trình mặt cầu, ta được

${\left(4-2\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(-2+1\right)}^2=6<9$

Do đó điểm M nằm trong mặt cầu.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+10y+3z+1=0$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây

A. $\left(3;-2;-4\right).$

B. $\left(4;-1;0\right).$

C. $\left(2;1;9\right).$

D. $\left(-1;3;-1\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta thay tọa độ các điểm ở từng đáp án vào phương trình mặt cầu (S).

Với $A\left(3;-2;-4\right)$, có: $3^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2-2.3+10.\left(-2\right)+3.\left(-4\right)+1=-8\ne 0$

Do đó mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(3;-2;-4\right)$

Với $B\left(4;-1;0\right)$, có: $4^2+{\left(-1\right)}^2+0^2-2.4+10.\left(-1\right)+3.0+1=0$

Do đó, mặt cầu (S) đi qua điểm có tọa độ $\left(4;-1;0\right)$

Với $C\left(2;1;9\right)$, có: $2^2+1^2+9^2-2.2+10.1+3.9+1=120\ne 0.$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(2;1;9\right)$

Với điểm $D\left(-1;3;-1\right)$, có: ${\left(-1\right)}^2+3^2+{\left(-1\right)}^2-2.\left(-1\right)+10.3+3.\left(-1\right)+1=41\ne 0$

Do đó, mặt cầu (S) không đi qua điểm có tọa độ $\left(-1;3;-1\right)$

Câu 8. Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=9.$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=3.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3^2$ hay ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

Câu 9. Xác định tâm và bán kính mặt cầu $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$ ta được

A. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

B. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

C. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

D. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$

$\iff {\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=36$

$\iff {\left(x+4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=6^2.$

Vậy ta được Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm $G\left(-6;-12;18\right)$. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

A. $\left(9;18;-27\right).$

B. $\left(-3;-6;9\right).$

C. $\left(3;6;-9\right).$

D. $\left(-9;-18;27\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$

Tam giác ABC có trọng tâm $G\left(-6;-12;18\right)$ nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a+0+0}{3}=-6\\ \frac{0+b+0}{3}=-12\\ \frac{0+0+c}{3}=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-18\\ b=-36\\ c=54\end{array}\right.$

Suy ra $A\left(-18;0;0\right),B\left(0;-36;0\right),C\left(0;0;54\right)$

Gọi $I\left(x;y;z\right)$ , ta có: $\left\{\begin{array}{l}IO=IA\\ IA=IB\\ IB=IC\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}I{O}^2=I{A}^2\\ I{A}^2=I{B}^2\\ I{B}^2=I{C}^2\end{array}\right.$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2={\left(x+18\right)}^2+y^2+z^2\\ {\left(x+18\right)}^2+y^2+z^2=x^2+{\left(y+36\right)}^2+z^2\\ x^2+{\left(y+36\right)}^2+z^2=x^2+y^2+{\left(z-54\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}36x+324=0\\ 36x+324-72y-1296=0\\ 72y+1296+108z-2916=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-9\\ y=-18\\ z=27\end{array}\right.$

Vậy tâm của mặt cầu là $I\left(-9;-18;27\right).$

Phần II. Trắc nghiệm đúng - sai

Câu hỏi. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=4$.

a) Đường kính mặt cầu bằng 8.

b) Mặt cầu (S) đi qua điểm A(−1; 3; 0).

c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Oyz) bằng 2.

d) Mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – 2z – 2 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S).

Hiển thị đáp án

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 0) và bán kính R = 2.

Suy ra đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.

b) Có $IA=\sqrt{{\left(-1+2\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2+0^2}=\sqrt{5}>R$ nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.

c) Mặt phẳng (Oyz) có phương trình $x=0$.

Khi đó $d\left(I,\left(Oyz\right)\right)=|-2|=2$.

d) Ta có $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{|-2+2.1-2.0-2|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{2}{3}<R$ nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).

Phần III. Trả lời ngắn

Câu 1. Một quả bóng bay hình cầu có phương trình $x^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=1$ trong hệ trục tọa độ Oxyz (với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, đơn vị trên trục là mét). Giả sử một chú chim bay lên cao và đậu lên đỉnh của quả bóng bay (xem hình vẽ minh họa). Hỏi chú chim cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hiển thị đáp án

Trả lời: 3.

Mặt cầu $x^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=1$ có tâm $I\left(0;0;2\right),R=1$.

Ta có $d\left(I,\left(Oxy\right)\right)=2$.

Do đó chú chim cách mặt đất: 2 + 1 = 3 mét.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$, $\left(P\right):x+2y-2z-2=0$, $\left(Q\right):x+2y-2z+4=0$. Gọi mặt cầu S(I, R) có tâm I thuộc D và tiếp xúc với (P), (Q). Khi đó đường kính của mặt cầu có giá trị bằng bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Trả lời: 2.

Vì I $\in$$∆$ nên $I\left(2-3t;1+2t;1+2t\right)$.

Vì $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=d\left(I,\left(Q\right)\right)$$\iff \frac{|2-3t+2+4t-2-4t-2|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{|2-3t+2+4t-2-4t+4|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}}$

$\iff |-3t|=|6-3t|$

Với $t=1$ thì $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{|-3|}{3}=1$.

Đường kính của mặt cầu là 2.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---