13 Bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 12

Với 13 bài tập trắc nghiệm Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ, có đúng sai, trả lời ngắn sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

13 Bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 12

TRẮC NGHIỆM ONLINE

I. Nhận biết

Câu 1. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)<1,$ xác suất của biến cố A được tính theo công thức nào sau đây?

A. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

B. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

C. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

D. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Công thức tính xác suất toàn phần: $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

Câu 2. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)$, xác suất để biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)}{P\left(B\right)}.$

B. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}.$

C. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)}.$

D. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right)}{P\left(A\right)}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

Do đó, công thức Bayes, còn có thể viết dưới dạng: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}.$

Câu 3. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $P\left(A\right)>0$ và $0<P\left(B\right)<1.$ Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được tính theo công thức nào?

A. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

B. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}.$

C. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

D. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $P\left(A\right)>0$ và $0<P\left(B\right)<1.$

Ta có công thức $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

Câu 4. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn $P\left(A\right)=\mathrm{0,3,}P\left(B\right)=\mathrm{0,6}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,4}$ thì $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,5

B. 0,6

C. 0,8

D. 0,2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,6.0,4}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,8.}$

Câu 5. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,6};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,4.}$ Khi đó, $P\left(A\right)$ bằng

A. 0,7

B. 0,4

C. 0,58.

D. 0,52.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4.}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$$=\mathrm{0,6.0,7}+\mathrm{0,4.0,4}=\mathrm{0,58.}$

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,8};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,45.}$ Tính $P\left(A\right)$

A. 0,25

B. 0,65

C. 0,55

D. 0,5.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2.}$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$$=\mathrm{0,8.0,7}+\mathrm{0,2.0,45}=\mathrm{0,65.}$

Câu 7. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,3};P\left(A\right)=\mathrm{0,4}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,25.}$ Khi đó, $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,1875.

B. 0,48

C. 0,333.

D. 0,95.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,3.0,25}}{\mathrm{0,4}}=\mathrm{0,1875.}$

Câu 8. Một trường liên cấp có 3 khối gồm khối tiểu học, khối THCS và khối THPT. Tỉ lệ học sinh mỗi khối như sau: Khối tiểu học chiếm 25%, khối THCS chiếm 45%, khối THPT chiếm 30%. Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa ở các khối tương ứng 30% khối tiểu học, 50% khối THCS, 40% khối THPT. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. tính xác suất để học sinh được chọn tham gia hoạt động ngoại khóa.

A. 0,42.

B. 0,24.

C. 0,3

D. 0,25.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối tiểu học”,

       B là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THCS”,

       C là biến cố: “Học sinh tham gia là học sinh khối THPT”,

       D là biến cố: “Học sinh tham gia hoạt động ngoại khóa”.

Theo đề, ta có: P(A) = 0,25; P(B) = 0,45; P(C) = 0,3;

                         P(D | A) = 0,3; P(D | B) = 0,5; P(D | C) = 0,4.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, có:

Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa của trường đó là:

P(D) = P(A).P(D | A) + P(B).P(D | B) + P(C).P(D | C)

         = 0,25.0,3 + 0,45.0,5 + 0,3.0,4 = 0,42.

Câu 9. Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn A, B, C theo tỉ lệ 20%, 50%, 30%. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở khách sạn lần lượt là 5%, 4% và 8%. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.

A. $\frac{2}{500}.$

B. $\frac{27}{500}.$

C. $\frac{7}{500}.$

D. $\frac{23}{500}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có:

Tỉ lệ khách ở khách sạn A là: P(A) = 0,2.

Tỉ lệ khách ở khách sạn B là: P(B) = 0,5.

Tỉ lệ khách ở khách sạn C là: P(C) = 0,3.

Gọi H là biến cố: “Phòng có điều hòa bị hỏng ở khách sạn”.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn A là: P(H | A) = 0,05.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn B là: P(H | B) = 0,04.

Xác suất điều hòa bị hỏng ở khách sạn C là: P(H | C) = 0,08.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng là:

P(H) = P(H | A).P(A) + P(H | B).P(B) + P(H | C).P(C)

         = 0,05.0,2 + 0,04.0,5 + 0,08.0,3 = 0,054 = $\frac{27}{500}.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó 50 viên màu đỏ, 30 viên màu vàng ; các viên có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% viên bi màu vàng đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Khi đó:

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15.

c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên vi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac{3}{5}.$

d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là $\frac{7}{16}.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1.

B. 2.

C. 3

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

a) Theo đề, ta có số viên bi màu đỏ có đánh số là 60%.50 = 30.

Vậy ý a đúng.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 30.(1 – 50%) = 15.

Vậy ý b đúng.

c) Gọi A là biến cố: “Viên bi được lấy ra có đánh số”,

           B là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu đỏ”,

$\overline{B}$ là biến cố: “Viên bi được lấy ra có màu vàng”.

Lúc này ta tính P(A) theo công thức: P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$).

Theo đề bài, ta có: P(B) = $\frac{50}{80}=\frac{5}{8}$; P($\overline{B}$) = $\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$; P(A | B) = 60% = $\frac{3}{5}$;

                    P(A |$\overline{B}$) = 100% − 50% = 50% = $\frac{1}{2}.$

Vậy P(A) = P(B).P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A |$\overline{B}$) = $\frac{5}{8}.\frac{3}{5}+\frac{3}{8}.\frac{1}{2}=\frac{9}{16}.$

Vậy ý c sai.

d) Có A là biến cố “Viên bi được lấy ra có đánh số”

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố “Viên bi được lấy ra không có đánh số”.

Ta có: P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – $\frac{9}{16}$ = $\frac{7}{16}.$

Vậy ý d đúng.

Vậy có 3 ý đúng.

Phần II. Trắc nghiệm đúng - sai

Câu hỏi. Một tiệm photocopy có hai máy I và II. Máy I photo 40% số lượng sản phẩm và máy II photo 60% số lượng sản phẩm. Có 4% sản phẩm do máy I photo bị lỗi và 5% sản phẩm do máy II photo bị lỗi. Một sản phẩm được lấy ra ngẫu nhiên để kiểm tra.

a) Nếu sản phẩm được photo bởi máy I thì xác suất sản phẩm đó bị lỗi là 0,04.

b) Xác suất để sản phẩm lấy ra được photo bởi máy II và không bị lỗi là 0,384.

c) Xác suất để sản phẩm lấy ra không bị lỗi là 0,046.

d) Nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi, xác suất để nó được photo bởi máy II bằng $\frac{15}{23}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Gọi A là biến cố “Sản phẩm đó photo bởi máy I”;

B là biến cố “Sản phẩm đó photo bị lỗi”.

a) $P\left(B|A\right)=0,04$$\Rightarrow P\left(\overline{B}|A\right)=1-0,04=0,96$.

b) $P\left(B|\overline{A}\right)=0,05$ $\Rightarrow P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-0,05=0,95$.

c) $\overline{B}$ là biến cố “Sản phẩm lấy ra không bị lỗi”.

Ta có $P\left(\overline{B}\right)=P\left(A\right).P\left(\overline{B}|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)$$=0,4.0,96+0,6.0,95=0,954$.

d) $P\left(B\right)=1-0,954=0,046$.

Tính $P\left(\overline{A}|B\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,6.0,05}{0,046}=\frac{15}{23}$.

Phần III. Trả lời ngắn

Câu 1. Một lớp học có số học sinh nữ chiếm 45% tổng số học sinh cả lớp. Cuối năm tổng kết, lớp học đó có tỉ lệ học sinh giỏi là nữ là 30%, học sinh giỏi là nam chiếm 40%. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 1 học sinh của lớp để đại diện cho lớp lên nhận thưởng. Biết rằng học sinh được chọn là học sinh giỏi. Tính xác suất để em đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hiển thị đáp án

Trả lời: 0,38.

Gọi A là biến cố “Học sinh đó là nữ”, B là biến cố “Học sinh đó là học sinh giỏi”.

Theo đề ta có $P\left(A\right)=0,45;P\left(B|A\right)=0,3;P\left(B|\overline{A}\right)=0,4$.

Xác suất chọn được học sinh giỏi là

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$=0,45.0,3+0,55.0,4=0,355$.

Xác suất chọn được học sinh nữ biết học sinh đó là học sinh giỏi là

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,45.0,3}{0,355}\approx 0,38$.

Câu 2. Trường THPT A có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó thì có 75% học sinh biết chơi đàng guitar. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất để chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Hiển thị đáp án

Trả lời: 0,65.

Gọi A là biến cố “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ âm nhạc”,

B là biến cố “Học sinh đó biết chơi guitar”.

Theo đề có P(A) = 0,2; $P\left(\overline{A}\right)=0,8$; $P\left(B|A\right)=0,75$; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,1$.

Xác suất để học sinh đó biết chơi đàn guitar là

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$=0,2.0,75+0,8.0,1=0,23$.

Xác suất để học sinh được chọn học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc biết học sinh đó biết chơi đàn guitar là

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,2.0,75}{0,23}\approx 0,65$.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 5

• Trắc nghiệm Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

• Trắc nghiệm tổng hợp Toán 12 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---